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01-11-121动量定理

12.1质点的动量定理

设有一质点M，质量为m，在力F作用下运动，由方程可得当质量为常量时，上式表明，质点的动量对时间的导数，等于作用于质点的力。将上式改写为d(mv)=Fdt,并求两边积分，时间从t1到t2,速度从v1到v2,就得到：方程表明，质点的动量在一段时间内的增量，等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量，用s表示，这就是质点的动量定理，也称为冲量定理。

01-11-122冲量s是矢量，常力的冲量方向与力的方向相同。冲量的量纲为［s］＝［F］［T］＝［M］［L］［T］-2［T］＝［M］［L］［T］-1冲量的单位，在国际单位制中用N·S,在工程单位制中用kg·S。投影形式的质点动量定理：

01-11-12312.2质点系动量定理我们把所考察的质点系内,各质点之间相互作用的力称为内力，所考察的质点系之外的物体作用于该质点的力称为外力。由于内力的矢量和为零，所以，质点系的动量定理表示为：质点系的动量对时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和。其中：称为质点系的动量。两边求积分，动量从K1到K2，时间从t1到t2,得

01-11-124即，质点系的动量在任一段时间内的增量，等于作用于质点系所有外力在同一段时间内的冲量和。这是质点系动量定理的积分形式，也称冲量定理。在运动过程中，如作用于质点系的外力的矢量和始终为零，则质点系的动量保持为常量。这就是质点系的动量守恒定理。

【例题12-3】小车质量为m1=100kg,在光滑水平直线轨道上以v1=1m/s的速度匀速运动。现有一个m2=50kg的人从高处跳下,其速度v2=2m/s,方向与水平线成60。角,求人跳上车后车的速度.如果人又从车上向后跳下,跳时相对于车的速度vr=1m/s,方向与水平线成30。角。求人跳离后车的速度。

01-11-125解：取人和车作为研究的质点系，其动量在水平轴投影的代数和守恒：

起跳后，车速为V3,人相对于地球的速度在X轴上的投影为V3－Vrcos30

01-11-12612.3质量中心质心运动定理

质点系的运动不仅与作用在质点系的力及各质点的质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。设有n个质点M1,M2,…,Mn组成的质点系，各质点的质量分别为m1,m2,…mn,各质点质量之和∑mi=m，就是质点系的质量。取固定点O，设任一质点Mi对O点的矢径为ri，则由下列公式：确定的一点C称为质点系的质量中心,简称质心,又称惯性中心.将上式两边对时间求导，得

01-11-127代入质量系动量定理即将上式投影到直角坐标系，得:

可见，质点系的质心运动中，质点的质量等于质点系的质量，在这个质点上作用着所有作用于质点系的外力。这就是质心运动定理。

01-11-128【例题12-8】在静止的小船中点D处站着两个人，其中一人重P1=500N,由船中点向右走动1.5m，另一人重P2＝600N，由船中点向左走动0.5m，如果船重Q=1500N,船的重心在D的左方，距离为a，求人走动后船的位移。

解：取船和人组成的质点系为研究对象，作用于质点系的外力有人和船的重力P1,P2,Q及水的浮力N。初瞬间，人和船静止。在内力作用下，人和船开始运动。

建立坐标系OXY,原点与船初始位置的中点D重合,因为所有外力都垂直，故∑FE＝0，开始时系统静止，xc,=0,所以系统的质心坐标Xc为常数。质心在x方向的位置守恒。设初瞬间系统中人和船的质心坐标分别为X1=0,X2=0,X3=-a,初瞬间系统质心横坐标Xc为

01-11-129当两人走动结束时，人相对于船的位移为相对位移，船本身的位移为牵连位移，由于共线，所以其代数和为人的绝对位移。此时人和船的质心横坐标为X1’,X2’,X3’,于是有：

行走结束时系统质心的横坐标为：（负号表明船向左运动）

01-11-1210小结：

（1）掌握质点系动量定理的积分形式和投影形式

（2）质点系的动量守恒定理及质心运动定理

作业：12－112－612－1112－1212－15