2024北京汇文中学高二（上）期中数学（教师版）.docx

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2024北京汇文中学高二（上）期中

数学

1．本试卷分为两部分：第一部分为选择题，共48分；第二部分为非择题，共102分．

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．

第一部分（选择题共48分）

一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，出符合题目要求的一项．

1.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.或

2.已知直线经过点，且法向量，则的方程为（）

A. B.

C. D.

3.轴与圆的位置关系是（）

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

4.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（）

A.直线过,的中点 B.直线的斜率为

C.直线的斜率为3 D.直线的一个方向向量的坐标是

5.已知双曲线的两条渐近线方程为，则其离心率为（）

A. B. C.或 D.或

6.如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（）

A. B.

C. D.

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

9.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）

A.4 B.8 C.16 D.32

10.已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则AB的最大值为（）

A. B.8

C. D.7

11.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（）

A. B. C. D.

12.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论：

①平面；

②三棱锥的体积为定值；

③；

④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值.

其中所有正确结论的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

第二部分（非选择题共102分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

13.已知向量，写出一个与向量垂直的非零向量的坐标___________.

14.抛物线的焦点坐标是_________．

15.已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________.

16.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____．

17.设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；

18.在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且MN就是长轴长.请将下述证明补充完整.

证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，，

______，为定值，

在中，，在中，，

所以____________，所以截线上的点满足椭圆的定义，

所以截线是以，为焦点的椭圆，MN就是长轴长.

三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

19.已知平行四边形的三个顶点分别为，，.

（1）求边CD所在直线的方程；

（2）求四边形的面积.

20.已知圆的圆心在直线上，且过两点．

（1）求圆的方程；

（2）若圆与直线相切，求的值．

设直线与椭圆相交于，两点，已知点.

（1）直接写出椭圆的标准方程；

（2）设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简；

（3）若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简；

（4）直接写出弦长的最大值.

22.如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为