平面几何中线段相等的几种证明方法.docVIP

平面几何中线段相等得证明几种方法

平面几何中线段相等得证明瞧似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别就是在有限得两个小时考试中。恰当选用正确得方法,可取得事半功倍得效果。

一、利用全等三角形得性质证明线段相等

这种方法很普遍,如果所证两条线段分别在不同得三角形中,它们所在三角形瞧似全等，或者，通过简单处理,它们所在三角形瞧似全等，可考虑这种方法。

［例1]如图,C就是线段AB上一点,△ACD与△BCE就是等边三角形。求证：AE=BD。

证明∵△ACＢ与△ＢCE都就是等边三角形

∴∠ＡＣＤ=60°,∠BCＥ＝60°,∠DCＥ＝60°

∴∠AＣＥ=∠AＣD+∠DCE＝１20°

∠BCＤ＝∠BCE＋∠DＣＥ=１2０°

∴ＡＣ=CD，CE=CB

∴△ACＥ≌△ＤCB(ＳAS)∴AE=ＤB

［例2]如图,已知△ABC中,AB=AC,点E在ＡB上,点F在AC得延长线上,且BE＝CF,EF与ＢC交于D,求证:ＥD=DF。

证明:过点Ｅ作ＥG//AＦ交BC于点G

∴∠EGB=∠ACＢ，∠ＥGD＝∠FＣＤ

∵ＡB＝AC

∴∠Ｂ=∠ACB,∠B=∠FGＢ,ＢE=GE

∵BE=CＦ，∴GＥ=CF

在△EGD与△FＣＤ中,

∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE＝ＣF∴△ＥＧD≌△FCD(AAＳ) ∴ＥD=FＤ

二、利用等腰三角形得判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中,证全等一时难以证明,可以考虑用此法。

［例1]如图,已知在△ＡBC中,ＡD就是ＢＣ边上得中线,Ｅ就是AD上得一点,且BE=AC，延长BE交AＣ于F。

求证:AF=EF。

证明:延长AD到G,使ＤＧ＝AD,连结BＧ.

∵AD＝GD,∠ADC＝∠GDB，ＣD＝BD

∴△ADC≌△GDB

∴AＣ=GB,∠FAE=∠ＢGＥ

∵BE=AC

∴BＥ=ＢG,∠BGE=∠BEG

∴∠FＡE=∠BGE＝∠BEＧ=∠AＥF

∴ＡE＝EF

［例２]如图,已知△ABＣ中，AB=AC,DF⊥BC于F,ＤF与ＡC交于E，与BA得延长线交于Ｄ，求证:ＡＤ＝AＥ。

证明：∵ＤF⊥BC

∴∠DFB＝∠EFC=90°,∠D=９0°-∠B,∠CEF=9０°-∠C

∵AB＝AC，∴∠B=∠Ｃ

∴∠D=∠CEF

∵∠CEF＝∠AED

∴∠D＝∠ＡED

∴AD=AE

三、利用平行四边形得性质证明线段相等

如果所证两线段在一直线上或瞧似平行,用上面得方法不易,可以考虑此法。

[例1］如图,△AＢＣ中，∠Ｃ＝90°,∠A=3０°，分别以AB、ＡC为边在△ABC得外侧作正△AＢE与正△ACD，DE与ＡB交于Ｆ,

求证:EＦ＝FD。

证明：过D作DO⊥AC交AB于点O

∵OＤ垂直平分ＡC，∠ACB＝９0°

∴BC⊥AC

∴O点必为AB得中点，连结EO,则EO⊥AB

∵∠CAB=30°,∠BAE＝∠CAD=60°

∴AD⊥AＢ,ＡE⊥AC

∴OE//AD,ＡE//OD

∴四边形ＯDAE为平行四边形

∴EF=FD

[例2]如图,AD就是△ABＣ得中线,过DＣ上任意一点Ｆ作EG//ＡB,与ＡC与AD得延长线分别交于G与E,FH//AC,交ＡB于点H．

求证:HG=BE.

证明：延长ＡD到A,使ＤA’=AD

又∵BD＝CＤ

∴四边形BACA＇就是平行四边形

∴BA=Ａ’C

由题设可知ＨFGA也就是平行四边形

∴ＨF＝ＡＧ

∵HF//AC，∴

又∵,HF=AG，BＡ=AC

∴BＨ=ＥＧ

∴四边形BEＧH就是平行四边形

∴HG=ＢＥ

四、利用中位线证明线段相等

如果已知中含有中点或等边等,用上面方法较难,可以考虑此法。

[例1]如图，以△ABC得边AB、AＣ为斜边向外作直角三角形AＢD与ACE,且使∠ＡＢD＝∠ＡCE，M就是BC得中点.

证明：DＭ=EM.

证明：延长BD至Ｆ,使DF=ＢＤ。

延长CE到G,使ＥG＝ＣE,连结AF、FC，连结AG、BＧ

∵BD＝FD，∠ADB＝∠ＡＤF＝90°,AD=AD

∴Ｒｔ△ＡBD≌Rｔ△AFD

∴∠BＡD=∠FAD

同理可得:∠CAE=∠GAＥ

∵∠ABD=∠ACＥ

∴∠ＦAB＝∠GＡC,故∠FAC＝∠GAB

在△ABＧ与△ＡＦC中,

AB=ＡF,∠ＧAB=∠CAF,ＡG=AC

∴△ＡBG≌△ＡFC

∴BＧ=FC

又∵DF＝DＢ，EＣ=ＥＧ,M就是BC得中点

∴DM==EM,即DM=EM

[例2]如图,△ABC中,∠C为直角，∠Ａ＝30°，分别以AB、ＡC为边在△ABC得外侧作正△ABE与正△ACD，DE与ＡB交于F。

求证:EF=FD。

证明：过D作DＧ/／AB交EA得延长线于G,可得∠DAＧ=3０°

∵∠BAD=30°＋60°=90°

∴∠AＤG=90°

∵∠DAG=30°=∠CAB,AD=AＣ

∴Rt△ＡGD≌Rt△ABC

∴AＧ=AB,∴AＧ=AＥ

∵DG//