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平面问题的基本理论(THEORYOFPLANEPROBLEMS)
?§2.1平面应力和平面应变问题(PlaneStressandPlaneStrain)
2.1.1平面应力(theplanestressproblem).设有很薄的等厚度薄板,如图2.1所示.只有板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束,则叫做平面应力.
假定薄板的厚度为δ.以薄板的
的中面为xy面,以垂直于中面的任
一直线为z轴.因为板面上()
不受力,所以有
图2.1
由于板很薄,外力不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续分布,因此,可以认为薄板所有的点都有
只有三个应力分量:σx,σy和τxy=τyx
;2.1.2平面应变问题(planestrainproblem)
设有很长的柱形体,它的横截面不沿长度变化,如图2.2所示.在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束.同时,体力也平行于横截面并且不沿长度变化,则这种情况叫平面应变.
(1)以任一横截面为xy面,任一纵线为z轴,
则所有一切应力分量、形变分量和位移分量
都不沿z方向变化,而只是xandy的函数.
(2)由于对称性,在z轴方向方不能任何位移和形变,
故有w=0andεz=0.
(3)由于对称性,应有
又有剪应力互等定理有
(4)由于胡克定律,有.因此只有三个形变分量εx,εy,γxy.但一般;§2.2平衡微分方程(DifferentialEquationsofEquilibrium)
从Fig.2.1的板中orFig.2.2柱形体中,取出一个微小正平行六面体,它在xdirection和ydirection的dimensions分别是dxanddy(Fig2.3).为简便,thedimensioninthezdirectionis取单位长度.
一般地说,应力分量是xandy的函数,因此作用在左右两面or上下两面的应力分量是不相同的.例如,设左边的averagenormalstresscomponent是σx,则作用在therightface应力分量,由于xcoordinate的改变,可以用Taylor’s级数表示如下:
略去二阶以及二阶以上的微量,得
同样,若左边的averageshearstress图2.3
是τxy,则右边的averageshearstress将为:
;;两边除于dxdy,并合并相同的项,得;约简以后,两边除以dxdy,得:;§2.3TheStateofStressatPoint.PrincipalStresses
?2.3.1一点的应力状态
设任一点P在坐标轴上的应力分量(stresscomponents)σx,σyandτxy已知,见Fig.2.4(a),试求经过该点,平行于zaxis,而倾斜于xandyaxes的任意斜面上的应力.为此,我们取一个planeAB,平行于上述斜面,并与经过P点而垂直于xandyaxes的的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB,见图2.4(b).
用n代表planeAB的外法线,用landm表示法线n和theaxesxandy之间的角度的方向余弦,
Fig.2.4
;;命斜面AB上的normalstress是σn,则由pxandpy在法线n的投影得:;
;于是可得的二次方程;将σ解出,得两个根
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