数学学案：课堂导学双曲线的简单几何性质.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

课堂导学

三点剖析

一、双曲线的渐近线

【例1】求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程。

解：把方程16x2-9y2=—144化为标准方程=1,

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3,c==5。

焦点坐标为(0，—5）,(0,5）；

离心率e=；

顶点坐标为(0,—4），（0,4）;

渐近线方程为y=±。

温馨提示

双曲线=1（a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x，双曲线=1的渐近线为x=±y，即y=±x,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.

二、双曲线的离心率

【例2】双曲线=1(a＞1,b＞0)的焦距为2c，直线l过点（a，0)和(0,b），且点(1,0)到直线l的距离与点（—1，0）到直线l的距离之和s≥c。求双曲线的离心率e的取值范围。

解:直线l的方程为=1，即bx+ay—ab=0.

由点到直线的距离公式,且a＞1，得到点（1，0)到直线l的距离d1=。

同理得到点（—1，0）到直线l的距离：

d2=,s=d1+d2==。

由s≥c,得≥c，

即5a≥2c2.于是得5≥2e2,

即4e4-25e3+25≤0。

解不等式，得≤e2≤5.

由于e＞1＞0,

所以e的取值范围是≤e≤。

温馨提示

本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想。本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.

三、直线与双曲线的位置关系

【例3】已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。

(1）若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值；

(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=ｘ对称？若存在，请求出a的值;若不存在，请说明理由.

解:（1）由消去y，得

(3－a2）x2－2ax－2=0.①

依题意

即－＜a＜且ａ≠±３。②

设A(ｘ1，ｙ1），Ｂ（ｘ2，ｙ2）,

则

∵以AB为直径的圆过原点，

∴OA⊥OB。

∴ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2＝０.

但y1y2＝ａ2ｘ1ｘ2＋ａ（ｘ1＋ｘ2)＋１，

由③④,x1+x2＝,ｘ1ｘ2＝。

∴(a2+1）·＋ａ·+1＝０。

解得ａ＝±１且满足②。

（2)假设存在实数a，使A、B关于ｙ＝ｘ对称，则直线y=a

x+1与y＝ｘ垂直，

∴a·=—1，即ａ＝-2.

直线l的方程为ｙ＝—3ｘ＋１.

将a=—2代入③得ｘ1＋ｘ2＝４.

∴ＡＢ中点横坐标为2,

纵坐标为ｙ＝-2×2＋１＝—3。

但AB中点（2，-3)不在直线ｙ＝12ｘ上，

即不存在实数ａ，使A、B关于直线ｙ＝12ｘ对称。

各个击破

类题演练1

求满足下列条件的双曲线方程。

（1）以2x±3y=0为渐近线，且经过点(1，2）；

（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y—x=0。

解：(1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ，点(1，2）在双曲线上点的坐标代入方程可得λ=—32。

∴所求双曲线方程为4x2-9y2=-32，

即=1.

（2）由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为（±2,0）,又双曲线的一条渐近线方程为yx=0，则另一条渐近线方程为y+x=0。所求双曲线方程为3x2-y2=λ(λ＞0）,则a2=，b2=λ。

∴c2=a2+b2==4,即λ=3.

故所求的双曲线方程为x2-=1。

变式提升1

（2004天津)设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF1｜=3，则|PF2｜等于（）

A。1或5B。6C

答案:C

类题演练2

（2006陕西高考，12）已知双曲线=1（a）的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（)

A。2B.C。D。

答案：D

变式提升2

（2004重庆)已知双曲线=1(a〉0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且｜PF1｜=4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e的最大值为()

A。B。C.2D.

答案：B

类题演练3

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为且过点(4，-）.

(1）求双曲线的标准方程；

（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2

答案：（1）解：由双曲线的离心率为，即=，则

=2,

∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x