数学学案：课堂导学直线与圆锥曲线.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

一、利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母的取值或取值范围

【例1】已知曲线C：x2－y2＝１及直线l:y=kx—1.

（1）若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围；

（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2,求实数k的值.

解：(1）由

消去y，得(1－ｋ2）ｘ2＋２ｋｘ－２＝０.

由

得k的取值范围为

（－，－１）∪（－１，１）∪（１，）。

（2)设Ａ（ｘ1，ｙ1）、Ｂ(ｘ2，ｙ2),

由（1）得ｘ1＋ｘ2＝，ｘ1ｘ2＝。

又l过点D(0,—1),

∴Ｓ△ＯＡＢ＝Ｓ△ＯＡＤ＋Ｓ△ＯＢＤ

＝｜ｘ1|＋１２｜ｘ2｜

＝｜ｘ1－ｘ2｜＝。

∴（ｘ1－ｘ2)2＝（２)2,

即＝８.

∴ｋ＝０或k=±。

温馨提示

一般地,在讨论直线和圆锥曲线位置关系时,先联立方程组，再消去x(或y）,得到关于y（或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零），直接考虑Δ的情况即可;如果是直线与双曲线或抛物线则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，这是要特别注意的问题。另外注意直线斜率不存在时的情形。

二、有关曲线的弦长问题

【例2】椭圆ax2+by2=1与直线x+y—1=0相交于A、B,C是AB的中点，若｜AB｜=22,OC的斜率为，求椭圆的方程。

解析:设A（x1,y1）、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b（y1+y2)(y1-y2)=0.

而=-1，=kOC=,代入上式可得b=a。

再由|AB|=｜x2—x1|=2,其中x1\x2是方程（a+b)x2—2bx+b—1=0的两根,

故(）2-4·=4，

将b=a代入得a=，

∴b=。∴所求椭圆的方程是x2+y2=3。

温馨提示

利用设点代入、作差借助斜率的解题方法,称作“差点法”,是解决直线与圆锥曲线位置关系常用方法。

三、最值问题

【例3】已知直线l：y=2x—4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积。

分析：先求出弦长｜AB|，再求出P点到直线AB的距离，从而可表示出△PAB的面积，再求最值即可。

解:由解得A（4，4），B（1,-2），

知｜AB｜=3，设P（x0，y0）为抛物线AOB这条曲线上一点，d为P到直线AB的距离.

d=

=|y02[]2-y0-4|

=｜（y0—1）2—9｜，

∵—2＜y0＜4,∴（y0—1）2—9＜0。

∴d=［9—（y0—1）2］。

从而当y0=1时，dmax=,S最大=××3=。

因此，当P(，1)时，△PAB取得最大值，最大值为。

温馨提示

解决本题的关键是弦AB为定值.将P到AB的距离的最值转化为二次函数问题求解。在应用配方法求最值时，一定要注意变量的取值范围。

各个击破

类题演练1

直线y=ax+1和双曲线3x2—y2=1相交于A、B两点,问a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

解：设A（x1，y1)、B（x2，y2）。

∵∠AOB=90°,∴kOA·kOB=—1.

∴x1x+y1y2=0,即(a2+1)x1x2+a(x1+x2）+1=0.①

又(3—a2）x2-2ax-2=0,

∴代入①式得a=±1.

变式提升1

过点（1，0）的直线与双曲线=1的右支交于A、B两点,则直线AB的斜率k的取值范围（）

A.｜k｜≥1B.＜|k｜≤2C。|k|≤D.｜k|＜1

答案：B

类题演练2

已知斜率为2的直线经过椭圆=1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长。

解：椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y=2(x-1）.

由方程组消去y,整理，得3x2-5x=0.

设直线l与椭圆交于A（x1，y1）,B（x2,y2），由韦达定理,得

x1+x2=，x1x2=0。

则|AB|=

=

=

=.

变式提升2

已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P（4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点），求弦AB的长。

解：由A、B两点在抛物线y2=6x上，可设A（,y1)，B(，y2）.

因为OA⊥OB,所以·=0.

由OA=(，y1）,OB=（，y2），

得+y1y2=0。

∵y1y2≠0,∴y1y2=-36.①

∵点A、B与点P（4,2）在一条直线上，

∴,化简，得，

即y1y2-2（y1+y2）=—24.

将①式代入，得y1+y2=-6。②

由①和②，得y1=—3—3,y2=-3+3,从而点A的坐标为（9+3，—3-3），点B的坐标为(