基于线性互补理论求解绝对值方程 .pdfVIP

基于线性互补理论求解绝对值方程

邓永坤;张萍;曹苏玉

【摘要】Aimedatthesolutiontotheabsolutevalueequations,the

absolutevalueequationscanbetransformedintolinearcomplementarity

problemsundertheconditionthatoneisnotaneigenvalueof,andthen

thelinearcomplementarityproblemscanbereformulatedasanonsmooth

systemofequations.Theauthorsofthispaperfindthesolutionto

absolutevalueequationsbysolvingthenonsmoothsystemofequations.%

针对绝对值方程Ax-||x=b的求解问题。在假设1不是矩阵A的特征值时，绝

对值方程可转化为线性互补问题，然后将线性互补问题转换为非光滑方程组的形式

进行求解，进而求得原绝对值方程的解。

【期刊名称】《常熟理工学院学报》

【年(卷),期】2012(000)008

【总页数】5页(P8-12)

【关键词】绝对值方程;线性互补问题;非光滑方程组

【作者】邓永坤;张萍;曹苏玉

【作者单位】中国矿业大学理学院,江苏徐州221000;中国矿业大学理学院,江苏

徐州221000;中国矿业大学理学院,江苏徐州221000

【正文语种】中文

【中图分类】O24

考虑以下形式的绝对值方程

其中A∈Rn×n，b∈Rn，绝对值依分量而取.

绝对值方程首次由Rohn于1989年在文献[1]中研究区间线性方程组问题时提出，

此后许多学者对其理论及数值求解进行了广泛的研究.Mangasarian等人在文献[2]

中对绝对值方程（1）进行了详细的理论研究，证明了当1不是矩阵A的特征值时，

绝对值方程（1）可以转换为线性互补问题，给出了方程有解、无解、唯一解、非

负解及2n个解的充分条件等.文献[3]中，Mangasarian用广义牛顿法对绝对值方

程（1）进行求解，并且证明了在适当条件下该算法具有线性收敛速度.文献[4]用

一个光滑函数代替绝对值函数后给出了求解该绝对值方程的一个光滑牛顿法，并证

明了该算法具有二次收敛性.文献[5-6]结合区间算法相关知识，给出了求解绝对值

方程（1）的区间算法.文献[7-8]基于极大熵函数光滑化处理，给出了求解绝对值

方程（1）的极大熵自适应微粒群混合算法及和声有哪些信誉好的足球投注网站算法.

当绝对值方程（1）中矩阵A是对称矩阵时，文献[9]结合优化技术给出了求该绝

对值方程的一种迭代算法，紧接着文献[10]利用一种改进的Gauss-Seidel算法对

其进行了求解，并且文章最后理论分析与数值实验均证明了此算法计算速度要明显

快于文献[9]中的迭代算法.

目前绝对值方程的现有算法多是基于半光滑或光滑化处理技术下的有效算法，在计

算过程中分别利用了绝对值方程的广义梯度及近似逼近.然而很少有文章通过将绝

对值方程等价转化为其他相关问题进行求解，本文正是基于这一点同文献[11]的基

本思想一致，首先将绝对值方程（1）等价转化为线性互补问题，然后利用互补理

论的相关知识来求解.现阶段线性互补理论与算法已经十分成熟，由此可见此方法

对于求解绝对值方程问题是十分有效的.

定义2.1[12]设M∈Rn×n是一n×n实矩阵，q∈Rn是一n维矢量，F:Rn→Rn为

连续可微的向量值函数，且F=Mx+q，则线性互补问题（linear

complementarityproblems）记为LCP（F），是指：求x∈Rn满足

即xi≥0，Fi(x)≥0，xiFi(x)=0，i=1,2,…n.

定义2.2[12]函数ψ:R2→R1被称为“NCP函数”，如果对任意(a,b)T∈R2，

ψ(a,b)=0当且仅当a≥0，b≥0，ab=0.

从事优化理论与算法研究的学者提出了许多不同的NCP函数，其中较为常用的有

以下两个NCP函数：

1.Fischer-Burmeister函数：

2.min函数：

由定义2.1[12]及定义2.2[12]可知，对于任