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液体运动的流场理论

;12.1流速、加速度

描述液体的运动有两种方法：拉格朗日法和欧拉法。在水力学中应用广泛的是欧拉法。

一般情况下同一时刻不同空间点(x,y,z)上液体的运动要素是不同的，即使在同一空间点上运动要素也是随时间t而变化的。所以各种运动要素是空间位置(x,y,z)和时间t的连续函数。;在时刻t，某一液体质点

通过渐变段上的A点，经过

时间dt该液体质点运动到新

的位置。在时刻t，A点

流速为，点的流速为。在时刻t+dt，A

点的流速变为，而点的流速则变为

;因此该液体质点通过A点时的加速度应为

式中第一项叫做

时变加速度，第二项

叫做位变速度。

;

恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。;由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应为时变加速度和位变加速度之和。这种概念同样适用于液体的密度与压强。

，

流场中液体质点通过任一

空间点时所有运动要素

都不随时间而改变叫恒定流。

如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。;12.2流线、迹线及其微分方程

拉格朗日法研究液体中各个质点在不同时刻运动的变化情况；欧拉法则是在同一时刻研究不同质点的运动情况。前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的概念。

在右图流线AB上取微分

段ds，其方向余弦为;

即可得流线方程

某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。

根据定义有由此得到迹线微分方程式

恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式表示

;12.3液体质点运动的基本形式;平行六面体的整个

变化过程可看作是由下

列几种基本运动形式所

组成。

1、位置平移。

2、线变形。

3、边线偏转：(1)角变形；(2)旋转运动。;2、线变形

3、边线偏转

同理

;

（1）角变形

（2）旋转运动

;

;流场中所有液体质点的旋转角速度都等于零，即

无涡流，则必有流速势函数存在，所以无涡流又称为势流。

有涡流可用旋转角速度的矢量来表征，引用所谓涡线、涡束等概念。

涡线是某一瞬时在涡流

场的一条几何曲线，在这条

曲线上各质点在同一瞬时的

旋转角速度的矢量都与该曲

线相切。涡线的作法与流线

相似。;

与流束相类似，任意取一微小面积，通过该面积各点作出一束涡线，称为微小涡束。

类似于流量，若微小的涡束的横断面积为，旋转角速度为，则称为微小涡束的涡旋通量，或称为涡旋强度。

称为沿封闭周线C的速度环量。;速度环量可写成：

若液体的运动是无涡的，

必有流速势函数存在

当流速势为单值时，沿无涡流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。

;12.5液体运动的连续性方程式;故在dt时间内流进与流出六面体总的液体质量的变化为

故经过dt时段后六面体内质量总变化为

在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。

;

可压缩液体非恒定流的连续性方程式。

对不可压缩液体，常数，因此得连续性方程式为

或写作divu＝0，式中divu叫速度散量。;12.6理想液体运动微分方程式及其积分;12.6.2理想液体运动微分方程式－欧拉方程式

液体平衡微分方程式是表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式。

在理想液体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。

左表面动水压力

右表面动水压力

;假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影