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质点动力学基础方程

10.1惯性坐标系定义同一物体，对于不同的坐标系来说，运动情况是不同的。适用于牛顿定律的坐标系称为惯性坐标系。实践证明，在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性坐标系，只是对于某些必须考虑地球自转的影响问题(如落体对铅球垂线的偏离等)才选取以地心为原点，而三个坐标轴指向三个恒星的坐标系为惯性坐标系。在以后的章节中，如果没有特殊说明，所有运动都是对惯性坐标系而言的。物体在惯性坐标系中的运动称为绝对运动，我们也习惯地把惯性坐标系称为静坐标系或固定坐标系。

10.2牛顿定律动力学的基本定律是牛顿提出的三个定律，即所谓的牛顿三定律。第一定律任何物体，如不受外力作用，将保持静止或作匀速直线运动的状态。第二定律质点受到外力作用时，所产生的加速度的大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。这一定律的数学公式可表示为：F=ma (10.1a)其中m为质点的质量，而F=是指作用于质点的所有力的合力。第三定律即反作用定律，两物体间相互作用的力(作用力与反作用力)同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。

不受外力作用时，物体将保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性。所以第一定律也称为惯性定律，而匀速直线运动也称为惯性运动。由此可见，假设以相等的力作用于不同的质点，则质量m愈大，它的惯性也愈大。所以质点的质量是它的惯性的量度。在古典力学里，一个物体的质量m被看作是常量，不因为物体的运动状态不同而改变。但是根据相对论力学，物体的质量将随运动速度而变化，只有当物体的速度可与光的速度相比时，变化才显著。在古典力学里，由于所考察的物体的机械运动速度都远小于光速，因而认为物体的质量为常量已足够精确。任一物体的质量m与它的重力P之间存在着如下关系：P=mg其中g是重力加速度。显然，质量与重力是两个不同的概念。因为第二定律是就一个质点而言的，而理论力学中的问题，大量是关于质点系的。要使根据第二定律建立起来的质点动力学理论推广应用于质点系，就必须利用反作用定律。反作用定律对于研究质点系的动力学问题具有重要的意义。10.2牛顿定律

10.3质点运动微分方程设有一质点M，质量为m，作用于该质点的所有的力的合力为，如图10.1所示。令质点的加速度为a，则有：ma=F (10.1)图10.1作用于质点M的合力F由运动学知，当用质点M对坐标原点O的矢径r来表明它的位置时，质点的加速度a是：其中v是质点的速度。于是方程可以改写为：或(10.2)

10.3质点运动微分方程这就是矢量形式的质点运动微分方程。过原点O取直角坐标系Oxyz，将方程投影到各坐标轴上，就得到了直角坐标形式的质点运动微分方程：(10.3)其中FX、FY、FZ分别为作用于质点的各力在x、y、z轴上的投影之和。如果质点作平面曲线运动，取运动平面为Oxy平面，则方程成为：(10.4)如果质点作直线运动，取x轴沿路径直线，则方程成为：(10.5)

10.3质点运动微分方程设已知质点的运动轨迹曲线，以轨迹曲线在质点所在处的切线(指向曲线正方向)、法线n(指向曲率中心)及垂直于和n的b为自然坐标轴，如图10.2(a)所示。将方程投影到自然坐标轴上，有图10.2自然坐标与极坐标但

10.3质点运动微分方程而加速度在b方向上的投影，于是(10.6)这就是自然坐标轴形式的质点运动微分方程。当质点作平面曲线运动时，如采用极坐标表示法，如图10.2(b)所示，则质点的加速度为于是将方程两边投影到r