定积与微积分基本定理(理).pptVIP

一、定积分的性质

1.kf(x)dx＝；;二、定积分的几何意义

1.当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的

几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)

所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影局部).;2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲

线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和

(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积

分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.;三、微积分根本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)

＝f(x).那么f(x)dx＝.这个结论叫做微积

分根本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.

为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作，

即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).;?一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数

唯一吗？;1.(2x－4)dx＝()

A.5B.4

C.3D.2;2.假设(2x＋)dx＝3＋ln2，且a1，那么a的值为()

A.6B.4

C.3D.2;3.自由落体的速度为v＝gt，那么落体从t＝0到t＝t0所走

过的路程为();4.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴所围成图形的面积为

.;5.如果(x)dx＝1，(x)dx＝－1，那么(x)dx

＝.;1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的

一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆

运算的关系；假设原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形.;2.计算简单定积分的步骤

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、

指数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为假设干

个定积分的和或差；

(3)分别用求导公式找??F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算所求定积分的值.;求以下定积分：

(1)(x2－x)dx；

(2)sin2dx；

(3)|3－2x|dx.;【解】;1.计算以下定积分：

;解(1)函数y=2x2_的一个原函数是;+ln3+6)-(2+ln2+4);〔3〕函数y=sinx-sin2x的一个原函数为;在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(ab)和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：

1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(ab)和x轴围成的曲

边梯形的面积为S＝(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；;2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，那么曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(ab)

和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝|(x)dx|＝－

(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；;3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下

方都