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圆中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.圆周角定理

(1)圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意:圆周角必须满足两个条件:顶点在圆上.角的两条边都与圆相交,二者缺一不

①②

可.

(2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意:圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角

转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角,在运用定理时不要忽略了这个条

件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

2.圆内接四边形的性质

(1)圆内接四边形的性质:

①圆内接四边形的对角互补.

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).

(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周

角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.

3.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

①点P在圆外⇔d>r

②点P在圆上⇔d=r

①点P在圆内⇔d<r

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

(3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.

(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.

(3)概念说明:

①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接

圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.

5.直线与圆的位置关系

(1)直线和圆的三种位置关系:

①相离:一条直线和圆没有公共点.

②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,

唯一的公共点叫切点.

③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.

(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.

①直线l和⊙O相交⇔d<r

②直线l和⊙O相切⇔d=r

③直线l和⊙O相离⇔d>r.

6.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下:

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:

直线过圆心;直线过切点;直线与圆的切线垂直.

①②③

(3)切线性质的运用

由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:

见切点,连半径,见垂直.

7.切线的判定与性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(3)常见的辅助线的:

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;

②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.

8.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们

所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统

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