2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】函数图象中的数形结合思想（解析版）.pdfVIP

函数图象中的数形结合思想

知识方法精讲

1．两点间的距离公式

两点间的距离公式：

设有两点A（x，y），B（x，y），则这两点间的距离为AB＝．

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说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．

2．动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中

的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

3．一次函数图象与几何变换

直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

4．一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）

对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．

当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；

当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．

5．一次函数与二元一次方程（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，

b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，

求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标

值．

（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为

二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．

6．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

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①当k与k同号时，正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个

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交点；

②当k与k异号时，正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个

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交点．

7．二次函数的图象

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（1）二次函数y＝ax（a≠0）的图象的画法：

①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在

顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序

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用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用

描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．

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（2）二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象

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二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax的图象向右或向左平移|