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平面问题的极坐标解答

4.1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates

对于用径向线和圆弧线围成的弹性体,如圆形,圆环形,楔形,扇形等,宜用极坐标求解.

在极坐标中,pointP的位置由radialcoordinateρand环向坐标?来表示,asshowninFig.4.1.;极坐标和andrectangularcoordinates都是直角坐标.但两者不同:在rectangularcoordinates中,xandyaxesareallstraightlines,它们有固定的方向,量纲都是L.但在polarcoordinates,ρaxis(?=constant)and?axis(ρ=constant)在不同的点有不同的方向;

ρaxis是一条直线,and?axis是圆弧线,ρaxis的量纲是L,?axis是无量纲.

为了表明极坐标中的应力分量,我们考虑由d?andd?围成的微分体PACB.在径向方向的用σ?表示,称为径向正应力;σ?,被称为环向normalstress或切向正应力,而剪切应力分量用τ??andτ??来表示,且有τ??=τ??.在径向和环向的体力分量用f?andf?来表示.符号规定与rectangularcoordinates一样.即正面的应力以沿正坐标方向为正,负面的应力以沿负坐标方向为正,反之为负.体力分量以沿正坐标方向为正,反之为负.

;现在来推导极坐标下的thedifferentialequationsofequilibrium,看单元PACB.设PB面的normalandshearstresses是σ?andτ??,而在面AC,由于坐标?的变化,将是和;;与此相类似,由单元在切向方向的平衡条件可推出:;4.2极坐标的几何和物理方程(GeometricalandPhysicalEquationsinPolarCoordinates)

在极坐标中,径向应变用??表示,环向应变用??表示,剪应变用???表示.径向和环向分别用u?andu?表示.

在Fig.4.2中,通过任意点P(?,?)分别沿正向和环向作微分线段PA=d?,PB=?d?.以下来分析微分线段上形变分量和位移分量的几何关系.;首先,假定只有径向位移而没有环向位移如Fig.4.2a.由于这个径向位移,PA移到了P’A’,PB移到了P’B’.而pointsP,AandB的位移分别为;环向线段PB移到了P’B’,从pointP’画一条圆弧线P’C.P’B’andP’C之间的角?是那样的小,可认为P’B’?P’C.因而环向应变为:;因此,剪应变为

;

;环向位移引起环向线段的转角,如Fig.4.2b可看出,在变形前,linePB在pointP的切线与lineOP垂直;变形后,lineP”B”atpointP”的切线与OP”垂直,这两个切线之间的夹角等于圆心角?POP”,这就是环向线的转角.这个角度变大,故有;;;4.3极坐标中的应力函数和相容方程(StressFunctionandCompatibilityEquationinPolarCoordinates)

极坐标和直角坐标的关系:;按照复合函数的求导公式,有;;从Fig,4.1可看出,如果将xandyaxes分别转到?and?使?=0,则应力分量?x,?y,?xy将变成σ?,σ?,τ??,这样，当不计体力时,由(a)to(c),我们得;另一方面,将Eqs.(a)and(b)相加,得

;4.4应力分量的坐标变换(CoordinateTransformationofStress

Components)

设已知直角坐标的应力分量?x,?yand?xy,求