北师大版九年级数学上册课件 1.3 第2课时 正方形的判定.pptxVIP

3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定第一章特殊平行四边形

新课导入一将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？

议一议满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流.新课探究二

定理对角线相等的菱形是正方形.定理对角线垂直的矩形是正方形.定理有一个角是直角的菱形是正方形.

定理对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.

定理对角线垂直的矩形是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）.已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.

定理有一个角是直角的菱形是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.例2

证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形（菱形的定义）.在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

做一做我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.AA1B1BCC1D1D

议一议（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？

（1）连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；（2）连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形；（3）连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；（4）连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形；顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形.

随堂练习三已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形.证明：在正方形ABCD中，BE＝DF，易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD，即CE=AE=AF=FC，∴四边形AECF是菱形．

解：四边形EFGH是正方形.∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，即EH=HG=GF=FE，且∠AHE=∠DGH．∵∠DGH＋∠DHG=90°，∴∠EHG=180°－(∠AHE＋∠DHG)=90°，∴四边形EFGH是正方形.2.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？

3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论.S重叠部分=S正方形ABCD

证明：如图，正方形OA′B′C′分别交AB、BC于点E、F．∵OC=OB，∠C′OA′=∠COB=90°，∠