专题 解析几何中的“解析”与“几何”深度结合 .pdfVIP

专题解析几何中“解析”与“几何”的完美结合

第一部分定义解读

1.从定义入手求轨迹

【引例】（人教A版《数学》选修2-1P第7题）如图1，圆O的半径为定长r，

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A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相

交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

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【例1】（2016∙理∙Ⅰ∙20）设圆x+y+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）

且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的

平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C，直线l交C于M，N两

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点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求

四边形MPNQ面积的取值范围．

【解答】

2222

（Ⅰ）证明：圆x+y+2x﹣15=0即为（x+1）+y=16，

可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，

由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，

即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，

则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的

椭圆，

且有2a=4，即a=2，c=1，b==，

则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；

（Ⅱ）椭圆C：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），

1

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由可得（3m+4）y+6my﹣9=0，

设M（x，y），N（x，y），可得y+y=﹣，yy=﹣，

11221212

则|MN|=•|y﹣y|=•=•

12

=12•，

A到PQ的距离为d==，

|PQ|=2=2=，

则四边形MPNQ面积为

S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，

当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．

【例2】（2013∙理∙Ⅰ∙20）已知圆:,圆:,动圆

与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆

P的半径最长时，求|AB|.