广西示范性高中2024−2025学年度高二上学期期中调研测试 数学试题【含解析】.docx

广西示范性高中2024?2025学年度高二上学期期中调研测试数学试题【含解析】

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（）

A． B． C． D．

2．椭圆的焦距为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知分别是平面的法向量，若，则（）

A．1 B．7 C． D．2

4．已知直线和直线平行，则的值为（）

A．3 B．3或 C． D．

5．如图，在四面体ABCD中，为DC的中点，为BE的中点，设，则（）

??

A． B．

C． D．

6．已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（）

A． B．

C． D．

7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（）

A．4 B．3 C． D．5

8．已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（）

A．点到原点的距离的最小值为2

B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6

C．的最大值为1

D．过点作圆的切线有2条

10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列四个结论正确的有（）

??

A．与所成角为

B．三棱锥的体积不变

C．平面

D．

11．已知分别为椭圆的左、右焦点，若点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一动点，下列结论中正确的有（）

A．的范围为

B．若为直角三角形，则的面积为

C．若点，则的最大值为

D．直线的斜率之积为

三、填空题（本大题共3小题）

12．若直线经过两直线和的交点，则.

13．已知直线，点为椭圆上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为.

14．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为.

(1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程;

(2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积.

16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组[40，45].

??

(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；

(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；

(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.

17．在中，内角的对边分别为且的外接圆半径满足.

(1)求角；

(2)若，求面积的最大值.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19．在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.如果曲线经“伸缩变换”后得到曲线，射线与分别交于两点A，B且.

(1)求的方程;

(2)若M，N在上，为垂足，求证：存在定点，使得|DQ|为定值.

参考答案

1．【答案】A

【详解】的斜率为，故倾斜角为，

故选：A

2．【答案】B

【详解】由题意得，则其焦距为2.

故选：B.

3．【答案】D

【详解】由于，所以，故，解得，

故选：D

4．【答案】A

【详解】由题意可得，则，，即，

解得或，

当时，，显然成立，符合题意；

当时，，不符合题意.

故选：A.

5．【答案】B

【详解】由是的中点，则，由为的中点，则，

在中，，在中，，

.

故选：B.

6．【答案】C

【详解】设Ax1,

故，

由于的中点为，故，因此,

故直线方程为，即，

经检验，直线与抛物线相交，满足条件.

故选：C

7．【答案】A

【详解】由题意设抛物线的方程为，

因为，，

所以点在抛物线上，

将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故，

所以抛物线的方程为，

所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图：

如图，过点作与准线垂直，为垂足，

点作与准线垂直，为垂足，则，