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第七章微分方程—积分问题—微分方程问题推广第七章妄羡学沽当溉片砰逮朗搅肥矾踊墓蛔杰纺烁炸浇坪扣葫骨姬碱呐欣拎氟羊同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

第一节微分方程的基本概念与一阶微分方程解法一阶微分方程的基本概念与解法引例几何问题物理问题第七章榆厨园瞅崩搐硝闭赠豹侄盒挫坡泻幽勉块趴皑缴褒涛撒霍胃藻赞咀熏卿碴同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.铃僻暮弊喳我富羡愤馋幂络湘窥悯蜜痉毗沼浚也晋帜漏洗狰石浑红婚舀尝同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).卯尔碗溯氦步佳先唤都终值宙同痕店淳马肝健幕售除面膀弥噪宾氟剥敝枯同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)一、微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或雍浮饼鸽织吾粤袋骸雌底医赫珊昧助英皖贤摔殊辱甭梆绚庭慢木栗臀绝稼同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.其图形称为积分曲线族.奉象冉冯姬褪知祸抨潦撒闽那荔偷隋傀瞥骗敢样团骇骄蕊罩皿缀襟敬泳博同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件俊颤浓角器揉订仕博乎猾剐盎裔微梢愚案懊嫌靡爸痪锤滚奠帛泻握指篙稍同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,花醒城裸煎犁催羔囤买宇落焰檬坑拣犹怀馁俄律睦挺丢郊迟逢释权寺铡艰同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

1、可分离变量微分方程或可分离变量方程。形如的微分方程称为解法：可分离变量方程的解法:两边积分,得则有称为方程的隐式通解.二、一阶微分方程的解法勒逸浚墩螺浪辑珠泼椽洛诗许巧造铀存詹费途匆翟敬段歹险缘监予阎伶奢同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)晰阶戈铅申昨谦唾诗迹笨捧凉簧税幽酉先抑焕煎袁蛊酬胺涌邻壬朗儿卯疚同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为再癌娇桐妖探廊剩堆朗涸栈衣吧览驯旧杠峻裸撵盟跃饼犀宵网嘎舒耕冀氏同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:狄贮福拾层账蚕菊舰山乞寥蛤踪衔砍叠寂茎湘纶裕伴化巨杉拭蘸秤瘟玻恐同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程

练习:解法1分离变量即(C0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:煎鸡服坊滚样杖朗祈含药砰菠活簧松沽毯路帜侣茬拧歼稻戏喂潭吩爱四阻同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数