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《第一章空间向量与立体几何》试卷(答案在后面)
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在三维空间中，向量a=1,2,
A.0
B.1
C.-1
D.5
1、在三维空间中，向量a=1,2,
A.0
B.1
C.-1
D.5
2、在空间直角坐标系中，设点A的坐标为（3，2，1），点B的坐标为（1，0，4），则向量AB与x轴的夹角是：
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
3、在空间直角坐标系中，设点A（1，2，3），点B（-1，0，1），若向量AB的模长等于3，则下列哪个选项是正确的？
A.A、B两点关于x轴对称
B.A、B两点关于y轴对称
C.A、B两点关于z轴对称
D.A、B两点关于原点对称
4、已知空间向量a=1,2,
A、1
B、2
C、3
D、4
5、已知向量a=3,4，向量b=
A.8
B.8
C.?
D.?
6、已知向量a=2,3，b=4,?2
A.5
B.5
C.10
D.10
7、在平面直角坐标系中，已知点A（2,3）与点B（-1,5），若向量AB与向量v=(-2,1)共线，则向量v的模长为：
A.3
B.4
C.5
D.6
8、在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，点B(-3,4)，向量AB的模长是：
A.2
B.4
C.5
D.6
二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、在三维空间直角坐标系中，下列向量中，与向量a=1,
A、2
B、3
C、?
D、2
2、已知空间中，点A（1，2，3），B（4，5，6），C（2，0，7），求以下结论正确的个数：
（1）向量AB与向量OC平行；
（2）点C在直线AB上；
（3）点C在平面AEB内。
请选择正确的选项：
A.（1）和（2）正确
B.（1）和（3）正确
C.（2）和（3）正确
D.（1）和（2）和（3）都正确
3、在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，点C(7,8,9)，下列命题正确的是（）
A.向量AB与向量AC垂直
B.向量BC与向量AB平行
C.向量AC的模长等于向量AB和向量BC的模长之和
D.线段BC的中点D在平面ABC内
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
1、已知向量a=2,?1,3和向量
2、已知向量a与向量b的夹角为60°，且a的模长为2，b的模长为3，则a+
3、在空间直角坐标系中，已知点A(2，-1，3)，点B(-1，2，-1)，则向量AB的坐标表示为_________。
四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）
第一题
已知四面体ABCD中，AB=AC=4,B
解析：
为了求解四面体ABCD的体积，我们首先观察其几何结构。注意到AB=AC=4,BD=CD=5
1.计算三角形AB
在△ABM
A
因此，三角形ABM的面积SABM
S
2.计算三角形AB
我们可以利用相似三角形法或者余弦定理来计算BD与CD形成的角正弦值，进而求得
假设我们采用坐标化方式处理，令B0,0,0,C6,0,
设Dx
通过解这个方程组得到一个合理的坐标替换到三角形AB
因此，可以采取直接计算四面体的体积为多个三角形计算分解的结果。根据向量与立体几何的相关知识，我们最终可以计算出体积V=16
第二题
题目：在空间直角坐标系中，已知点A1,2,?3，平面α的法向量n=
第三题
已知正四面体ABC-D中，E、F分别是棱AB、CD的中点，求证：EF平行于平面BCD。
第四题
题干：
在四面体ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点，设A
1.用a，b，c表示四面体ABCD
2.求证：MN为四面体A
解析：
1.空间四面体ABCD
空间四面体的体积可以用向量的叉积和点积表示。设向量AD=b，AC=c，AB
V
2.证明MN为四面体A
首先，求出向量MN的表达式。已知M和N分别是AB和
M
接下来，我们需要证明MN垂直于平面ABC。为此，我们只需要证明MN与平面ABC的法向量n垂直，这里
n
将MN与n
M
根据向量的性质，有a?a×c=0和
因此：
M
但由于b?c=0（因为b和c分别是AD
M
因此，MN与平面ABC的法向量n垂直，证得M
第五题
题目：
已知点A（1，2，1），点B（-2，1，-1），点C（0，-1，0），求向量AB+BC在向量OA方向上的投影长度。
《第一章空间向量与立体几何》试卷及答案
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在三维空间中，向量a=1,2,
A.0
B.1
C.-1
D.5
答案：D
解析：
数量积（点积）的计算公式为：a?b=a1
a
所以答案是D选项。但是，经过计算，发现结果应该是1，所以答案实际上应为
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