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空间力系

4.1空间汇交力系若空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。同平面任意力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解1.力在空间直角坐标轴上的投影如图4.1(a)所示，若力F与三个直角坐标轴的夹角分别为?、?、?，则力在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计算，即(4.1)

图4.1力F的投影利用式(4.1)计算投影的方法称为直接投影法。而若力F与坐标轴Ox和Oy的夹角?、?不易确定时，可先将力F投影到oxy平面上，得到一力在平面上的投影量Fxy，然后再将Fxy投影到x轴、y轴上。如图4.1(b)所示，当已知?、?角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：4.1空间汇交力系(4.2)

由式(4.2)计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第2章可知，力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。一、力沿坐标轴的正交分解同力在坐标轴上的投影类似，可将力矢沿三个坐标轴方向分解为三个正交分力Fx、Fy、Fz，如图4.2所示，则有4.1空间汇交力系图4.2力F的正交分解由力在坐标轴上的投影和分解的形式可知，其正交分力应与其在坐标轴上相应的投影值有如下关系：(4.3)

式中i、j、k分别为沿三个坐标轴x、y、z的单位矢量，则力矢F沿直角坐标轴的解析表达式为即力矢F可由在直角坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，则力的大小和方向余弦可由下式确定：4.1空间汇交力系(4.4)(4.5)必须注意，由式(4.5)只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。

二、空间汇交力系的合成与平衡1.空间汇交力系的合成同平面汇交力系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内，所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有F1、F2、…Fn组成一空间汇交力系，则力系的合力FR应等于力系中各力的矢量和，即4.1空间汇交力系(4.6)且合力FR的作用线通过力系的汇交点。在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式(4.4)可知，力系中任一力Fi均可表示为(4.7a)

将式4.7(a)代入(4.6)式中，得若合力FR在各轴上的投影分别为FRx、FRy、FRz，则4.1空间汇交力系(4.7)上式表明：合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这就是空间的合力投影定理。由式(4.5)可知，合力的大小和方向可由下式确定：(4.8)

式中?、?、?分别为合力FR与x、y、z三个直角坐标轴的夹角。因为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇交点。4.1空间汇交力系【例4.1】已知空间汇交力系的四个力中(N)，(N)，(N)，合力(N)，求第四个力F4的大小和方向。解：设F4的解析表达式为则由式(4.7)可知解得：即(1)(2)(3)

所以，力F4的大小力F4的方向其中?、?、?为第四个力F4与x、y、z三个坐标轴的夹角。4.1空间汇交力系

2.空间汇交力系的平衡条件由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即或可用解析式表示为所以4.1空间汇交力系(4.9)(4.10)上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式(4.10)亦称为空间汇交力系的平衡方程。

【例4.2】如图4.3所示简易三角架起重的装置，其中AB、AC、AD三杆的两端可视为球形铰链连接。三角架的三角B、C、D构成一等边三角形，且每根杆均与地面成的倾角。已知起吊的重物重量为W=2kN，试求三根杆所受的压力。4