利用空间向量求夹角（例、练及答案）.pdf

利利⽤⽤空空间间向向量量求求夹夹⾓⾓（（例例、、练练及及答答案案））

利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）

1．利⽤⾯⾯垂直建系

例1：在如图所⽰的多⾯中，平⾯平⾯，四边形为边长为2的菱形，

为直⾓梯形，四边形为平⾏四边形，且，，．

（1）若，分别为，的中点，求证：平⾯；（2）若，与平⾯

所成⾓的正弦值为求⼆⾯⾓的余弦值．

2．线段上的动点问题

例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，

使平⾯平⾯．（1）求证：平⾯；

（2）若在线段上有⼀点满⾜，且⼆⾯⾓的⼤⼩为，

求的值．

11ABBA⊥ABCD11ABBAABCD11BCCBABCD∥ABBC⊥1CD=EF11AC1BCEF⊥11ABC160AAB∠=?1AC

ABCD11AACD--ABCDY30A∠=?2AB=BDABD△ABD△ABC⊥ABDAD⊥BCDACMAMACλ=uuuuvuuuv

MBDC--60?λ

3．翻折类问题

例3：如图1，在边长为2的正⽅形中，为中点，分别将，沿

，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．

（1）求证：；

（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值；（3）求⼆⾯⾓的⼤⼩．

练习

⼀、单选题

1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，

的中

ABCDPCDPAD△PBC△PAPBCDOPOAB-EPBPOAB⊥BPPOAPAOE-

-a111ABCABC-DE1BB11AC

点，则异⾯直线，所成⾓的余弦值为（）

A．

B

C．

D．

2．在三棱柱中，底⾯是边长为1的正三⾓形，侧棱底⾯，点在棱上，

且，若与平⾯所成的⾓为，则的值是（）A

B

C

D

3．如图，圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，

，则空间中两条直线与所成的⾓为（）

A．

B．

C．

D．

4．已知四棱锥的底⾯是边长为2的正⽅形，，平⾯平⾯

，是的中点，是的中点，则直线与平⾯所成⾓的正弦值是（）

ADCE12

1545

111ABCABC-1AA⊥ABCD1BB1BD=AD11AACCαsinα2

2AB=OCD120AOD∠=?ADBC30?60?75?90?PABCD-ABCDPAPD==ABCD⊥

PADMPCOADBMPCO

A

B

C

D

5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最⼩值为（）

A

B

C

D．

6．如图，点

分别在空间直⾓坐标系的三条坐标轴上，，平

⾯的法向量为，设⼆⾯⾓的⼤⼩为，则（）

A．

B

C．

D．7．如图所⽰，五⾯中，正的边长为1，平⾯，，且

．设与平⾯所成的⾓为，，若，则当取最⼤值时，平

111ABCABC-90BAC∠=?12ABACAA===GE11AB1CCDFACABGDEF⊥DFABC、、Oyz-()0,0,2OC=uuuv

ABC()2,1,2=nCABO--θcosθ=43

23

23

-

ABCDEABC△AE⊥ABCCDAE∥1

2

CDAE=

CEABEα(0)AEkk=ππ,64α??

∈????

k

⾯与平⾯所成⾓的正切值为（）

A

B．1C

D

8．已知三棱柱的侧棱与底⾯边长都相等，在底⾯内的射影为的中⼼，

则与底⾯所成⾓的正弦值等于（）A

B

C

D

9．如图，四棱锥中，平⾯，底⾯为直⾓梯形，，

，，点在棱上，且，则平⾯与平⾯

的夹⾓的余弦值为（）

A

B

C

D

10．在正⽅中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（）A

B

C

D

11．已知四边形，，

沿折起，使⼆⾯⾓

的⼤⼩在内，则直线与所成⾓的余弦值取值范围是（）

BDEABC111ABCABC-1AABCABC△1ABABCPABCD-PB⊥ABCDABCDADBC∥ABBC⊥3ABADPB===EPA

2PEEA=ABEBED

1111ABCDABCD-1BC1ABDABCD2ABBDDA===BCCD=ABD△BDAB