2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】等腰三角形中的分类讨论思想（原卷版）(1).pdfVIP

等腰三角形中的分类讨论思想

知识方法精讲

1．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略．

2．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在

转化中借助平行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关

①②

系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

③

3．三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去．

②

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角

③

形的外角．

4．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线．以上四个元素中，从

①②③④

中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

5．等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对

等边】

说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

①

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作

未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

6．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方．

222

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b＝c．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

222

（3）勾股定理公式a+b＝c的变形有：a＝，b＝及c＝．

2222

（4）由于a+b＝c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边．

7.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手