2024北京广渠门中学高一（上）期中数学（教师版）.docx

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2024北京广渠门中学高一（上）期中

数学

2024.11

本试卷共3页.150分.考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，且，则等于（）

A.或 B. C. D.

2.如果实数，满足，那么下列不等关系成立的是（）

A. B. C. D.

3.已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（）

A.3 B.-3 C. D.

4.已知函数，，则实数（）

A.1 B.-1 C. D.0或1

5.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）

A. B. C. D.

6.设，是实数，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

7.已知，，，则（）

A. B.

C. D.

8.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（）

A.B.C. D.

9.已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为

A.3 B. C. D.13

10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（）

A. B.

C. D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（每小题5分，共计25分）

11.已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为_____________．

12.函数的定义域为________；函数的定义域为_______________________.

13.关于不等式的解集为，关于的不等式的解集是______

14.设函数，若存在最小值，则的一个取值为___________；的最大值为___________.

15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是___________________.

①如果，那么函数为奇函数；

②如果，那么为单调函数；

③如果，那么方程无解；

④如果，那么函数的最小值为2.

三、解答题（共6题，合计85分）

16.已知全集，集合．

（1）求,；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围．

17.（1）求值：

（2）解不等式组

18.已知函数

（1）判断函数奇偶性，并证明；

（2）判断函数在区间上单调性，并证明；

（3）求满足的实数的取值范围.

19.已知函数，满足.

（1）求值；

（2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围；

（3）设当时，函数的最小值为，求的解析式.

20.已知函数.

（1）画出下列函数图象，并写出各自值域；

①；②.

（2）不等式的解集______________，求的取值范围.

（①是空集；②不是空集；③是全体实数，在横线处填写其中一个条件，并完成题目要求.）

21.若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．

（1）写出集合的所有不同的2划分；

（2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；

①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；

②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；

③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；

④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．

（3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．

参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验.

【详解】当时，得.此时.此时集合.

因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.

当时，解方程，即，可得或.

若，则，此时集合.

不满足集合元素的互异性，所以