2025年中考数学思想方法复习系列 【数学模型】建立函数模型解决实际问题（解析版）.pdf

建立函数模型解决实际问题

知识方法精讲

1．一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际．

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用．

①②

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．

2．二次函数的性质

2

二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，

2

二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

2

①当a＞0时，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；

x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线

的最低点．

2

②当a＜0时，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；

x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线

的最高点．

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③抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax的图象向右或向左平移|﹣|个单

位，再向上或向下平移||个单位得到的．

3．二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．二次函数的最值

（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增

大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．

（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增

大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最

值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函

数值，比较这些函数值，从而获得最值．

5．抛物线与x轴的交点

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求二次函数y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax+bx+c

＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

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（1）二次函数y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax+bx+c＝0

根之间的关系．

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△＝b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

2

△＝b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

2

△＝b﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；

2

△＝b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x）（x﹣x）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛

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物线与x轴的交点坐标（x，0