北师大版九年级数学上册课件 1.2 第2课时 矩形的判定.pptxVIP

2矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形第2课时矩形的判定

新课导入一做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.

（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？新课探究二

已知：如图，在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°.∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.?

定理对角线相等的平行四边形是矩形.

想一想我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.

已知：如图，在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.

定理有三个角是直角的四边形是矩形.

议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.

如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.求□ABCD的面积.例2

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×=.

随堂练习三已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形.证明：在□ABCD中，AB=CD，M是AD边的中点，∴MA=MD，且MB=MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A=∠D.又∵∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.

2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE.（1）试判断四边形ABEC的形状；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？解：（1）四边形ABEC是平行四边形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ABEC是矩形．

3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论.

证明：∵CD∥MN，BC，BD分别为∠MBA，∠ABN的平分线，∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB，∠ABC＝∠CBM＝∠DCB，且∠CBD＝90°，∴OC＝OB＝OD＝OA．∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，则∠DAO＝∠OBC，AD∥BC,AD＝BC，∴四边形ACBD为平行四边形．又∵AB＝CD，∴四边形ACBD为矩形．

4.如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍.

课堂小结四定理对角线相等的平行四边形是矩形.定理有三个角是直角的四边形是矩形.

课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。