数学学案：课堂导学抛射体的运动曲线的参数方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

1。求曲线的参数方程

【例1】设质点沿以原点为圆心，半径为4的圆作匀速（角速度）运动，角速度为rad/s，试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.

解：如图示:

运动开始时质点位于A处，此时t=0，设动点M(x,y）对应时刻t，由图可知又θ=t,

得参数方程为:

(t≥0）。

2。化参数方程为普通方程

【例2】把参数方程化为直角坐标方程.

解:。

∴由cos2t+sin2t=1得(x—3）2+（y+2)2=4.

温馨提示

掌握好参数的取值范围,注意所用的消元法的选择.正确的选择是解题的关键.对于正弦余弦来说,重要的一个关系即是平方关系，利用sin2θ+cos2θ=1。

3。方程互化与类型判断

【例3】一直线过（3,0）,且与向量（1,2)平行，

（1)求该直线的参数方程；

(2)求点P（0,3）到直线的距离。

解:（1）直线斜率k=2，

则L:y=2（x-3)，

∴2x-y-6=0.

（2)d=。

温馨提示

利用消元法，实现参数方程与普通方程的互化，解决距离问题、最值问题、交点问题及各类型的判断问题,一般把参数方程化为普通方程来解,不过也有特殊情况，要灵活处理。

各个击破

类题演练1

求:3x+4y+7=0的参数方程.

解:令x=t则

y=—(3t+7）。

∴参数方程为。

变式提升1

已知:(φ为参数）,判断曲线类型.

解：由平方关系得=1，即上述参数方程表示的是椭圆.

温馨提示:注意变量的设法及方程的互化.

类题演练2

把参数方程化为普通方程.

解：.由cos2t+sin2t=1得

=1。

变式提升2

设直线的参数方程为求原点到直线的距离.

解：原式。

∴x+3y—7=0

∴d=

类题演练3

已知某条曲线C的参数方程为（其中t是参数,a∈R），点M(5，4）在该曲线上.

（1）求常数a；

(2)求曲线C的普通方程.

分析：本题主要根据曲线与方程之间的关系。可知点M(5，4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的参数方程，从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程.

解:(1)由题意可知,有

故。∴a=1。

（2）由已知及(1）可得，曲线C的方程为，

由第一个方程得t=，代入第二个方程，得y=(）2,即(x-1)2=4y为所求。

变式提升3

已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于该圆，且∠BAC=60°,当B、C在圆上运动时，求BC的中点的轨迹方程.

解：如图(1)所示，M为BC的中点，

由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°,（弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍）

在△BOC中,OB=OC=1OM=.

所以点M的轨迹方程为x2+y2=。

解析:把a表示出来,两式相减,得x2—y2=1且由｜x｜=｜a+｜≥1知x≤—1或x≥1,易知结果.

答案：C又因为x≥时，如图(2）。虽然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°—120°)=120°≠60°，所以点M的轨迹方程为x2+y2=（x＜),