北师大版九年级数学上册课件 4.5 相似三角形判定定理的证明.pptxVIP

第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明

复习导入一①②③①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.③三边对应成比例，两三角形相似.相似三角形的判定方法:

新课探究二定理1：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A′，∠B=∠B′∴△ABC∽△A′B′C′几何语言：在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明．

已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，ABCA′B′C′求证：△ABC∽△ABCDE证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE＝∠B，∠AED=∠C，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）

FABCA′B′C′DE过点D作AC的平行线，交BC于点F，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE＝CF.

而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△ABCFABCA′B′C′DE

定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言：∴△ABC∽△A′B′C′.∵∠A=∠A′，=.??

ABCA′B′C′求证：△ABC∽△ABCDE证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）

ABCA′B′C′DE而∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△ABC

定理3：三边成比例的两个三角形相似.几何语言：∴△ABC∽△A′B′C′.∵==.???

ABCA′B′C′求证：△ABC∽△ABCDE证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′连接DE.已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，

ABCA′B′C′DE而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△ABC

随堂练习三1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.CABEDF△ABC∽△DEF证明：等边三角形ABC中，AE=BF=CD则BE=CF=AD，∠A=∠B=∠C∴△AED≌△BFE≌△CDF∴DE=DF=EF∴△EFD是等边三角形∴∠EDF=∠A=60°，∠EFD=∠B=60°∴△ABC∽△DEF

2.已知：如图，求证：AB=AE.ABDEC证明：∴△ADE∽△CAB∴∠B=∠AEB∴AB=AE

3.已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE=AB.求证：AE2=AB·AE.ABCED证明：AE=AB，∠ABE=∠DBE∵∠AEB=∠CBE+∠C，∴∠ABE=∠CBE+∠C∴∠ABE?∠CBE=∠C∵EB平分∠CBD，∴∠CBE=∠DBE.∴∠ABE?∠DBE=∠C，即∠ABD=∠C∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB.?∴=，∴AB2=AD·AC.?∵AE=AB，∴AE2=AD·AC.

4.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P，Q两动点同事运动，那么何时△QBP与△ABC相似.BCAPQ

解：设经过xs时△QBP与△ABC相似.由题意有，BQ=4x，AP=2x，则BP=8?2x.当△QBP∽△CBA时，由=得，=.解得x=.?????当△QBP∽△ABC时，综上可知，如果P，Q两点同时运动