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山东省烟台市芝罘区烟台一中2024年高三模拟（5月）数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）

A．85 B．84 C．57 D．56

2．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（）

A． B．

C． D．

3．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）

A． B． C． D．

4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）

A． B． C． D．

5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（）

A． B．3 C． D．2

6．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A． B． C．2 D．

7．函数的图象大致是（）

A． B．

C． D．

8．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）

A． B．

C． D．

9．三棱锥的各个顶点都在求的表面上，且是等边三角形，底面，，，若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（）

A． B． C． D．

10．已知向量，且，则m=()

A．?8 B．?6

C．6 D．8

11．设，，是非零向量.若，则（）

A． B． C． D．

12．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（）

A．9 B．7 C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列的前项和为，且满足，则______

14．已知数列满足，则________．

15．在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次.已知存在整数、、，对所有的整数满足，其中表示不超过的最大整数.则等于______.

16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

18．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19．（12分）已知正项数列的前项和.

（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；

（2）设正项数列的前项和为，若，且.

①求数列的通项公式；

②求证：.

20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；

（2）若，求的值.

21．（12分）函数

（1）证明：；

（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.

22．（10分）已知正实数满足.

（1）求的最小值.

（2）证明：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：的展开式中二项式系数和为256

故，

要求展开式中的有理项，则

则二项式展开式中有理项系数之和为：

故选：A

【点睛】

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

2、D

【解析】

由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．

【详解】

解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，

或者或者是该数列中的项，

又数列是递增数列，

，

，，只有是该数列中的项，

同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，

，或（舍，，

根据，，，

同理易得，，，，，，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．

3、C

【解析】

由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．

4、D

【解析】

首先判断循环