有限单元法课件.pptxVIP

有限单元法和ANSYS程序

§5.1变分法(VariationMethods)简介

变分法的定义:主要是研究泛函(functional)及其极值的求解方法.所谓泛函,就是以函数作为自变量的函数,即泛函就是函数的函数.弹性力学变分法所研究的泛函,主要是指能量(energy),能量是应力应变的函数,而应力应变又是坐标、力、材料性质等的函数，所以能量是泛函。因此，弹性力学中的变分法又称为能量法(energymethod).

一、形变势能

按照材料力学(themechanicsofmaterials),当弹性体仅受一个方向力作用,例如x方向，其stresscomponent为?x,相应的straincomponent为?x,那末单位体积的应变能（strainenergy）is?x?x/2.;即;U1又称为变形势能密度或单位比能（specificenergy）．同样，当单元体只受剪stresscomponents?xy作用时，相应的剪straincomponent?xy时,单位体积的应变能is?xy?xy/2.设弹性受全部六个应力分量的作用，;因此，物体总的应变能为：;(e);又由方程(c),得;由于外力做了功，消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹

性体的外力势能是;;根据能量守恒定理，形变势能的增加应该等于外力势能的减少，也

就等于外力所做的功，故有;将(5.1)代进上式,得;§5.2基本量和基本方程的矩阵表示(MatrixRepresentationsofBasicQuantitiesandEquations)

在有限单元法中,为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系,也为了编写程序以便利用电子计算机进行计算,广泛地采用矩阵表示和矩阵计算.

1体力(bodyforces)的矩阵表示:设物体受体力P的作用,它的两个分量为X和Y,则有:;３应力(stress)的矩阵表示:;６几何方程(geometricalequations)的矩阵表示:;这里［Ｄ］称为弹性矩阵(elasticmatrix);这里，;;§5.3有限元导言

(IntroductionofFiniteElementMethod)

有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年Turner首先使用的。

一般来说，任何能用微分方程描述的物理现象，都能够通过变分原理建立的有限元方法来模拟，所以有限元的应用非常广泛。不但可以解决像荷载—位移问题，还可以解决渗流、热传导等问题。

有限元法的基本思想是用分段逼近(piecewiseapproximations)的方法,如利用多项式(polinomials)来代替连续函数(continuousfunctions),即是将连续体无限个节点变成有限个足够多的节点，通过建立节点力与节点位移之间的关系，求解节点位移，又通过给出一定的假设建立单元内任一点位移与节点位移之间的关系，计算出应变，运用应力—应变关系，从应变就可以计算出应力。;Fig.5.2;在Fig.5.1(a)中，表示一个承受初始应力px,py,pxy的一个地下洞室(undergroundopening)；在Fig.5.1(b)中，表示将地下洞室周围区域划分为很多三角形单元(triangularelements)；在Fig.5.1(c)中,表示节点(nodes)为I,j,m的一个三角形单元．

有限单元法的基本解题步骤为：

1.划分单元；

2.建立位移模型，即建立单元内任一点位移与节点位移之间的关系

设三角形单元三个节点的位移分别为：(ui,vi),(uj,vj),(um,vm),

则三角形单元任何一点的位移u与v为：;这样，;3.推导单元的刚度矩阵方程。既建立节点力与节点位移之间的关

系．如果知道任一点的位移，则其应变为：

;这里，;在有限单元法中，作用在单元所有的力都用等价的节点力矢量

(equivalentnodalforcevector)来表示:;应力在虚应变上所做的虚功为：;称为单元的刚度矩阵（thestiffnessmatrixofaelement）.

我们就得到单元的刚度方程(thestiffnessequationofaelement):;

;§5.4有限元网格(Finite