备考2025年中考数学技巧专题突破（全国）专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）.pdf

专题2-1将军饮马等类常见最值问题

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题型一两定一动型（线段和差最值问题）

题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马

题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

题型七化斜为直，斜大于直

题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题

【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB

【问题2】在直线上求一点，使＋最小

lPPAPB

问题解决：作关于的对称点＝，则＋＝＋，当，，共线时取最小，原

BlB⇒PBPBPAPBPAPBAPB

理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB

【问题3】在直线上求一点，使－最大

lP|PAPB|

问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△中，－≤

ABP|PAPB|AB

【问题4】在直线上求一点，使－最大

lP|PAPB|

问题解决：作B关于直线l的对称点B⇒PB＝PB，|PA－PB|＝|PA－PB|

原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB，在△ABP中|PA－PB|≤AB

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小ll

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问题解决：分别作点关于两直线的对称点’和，＝，＝，

PPPPMPMPNPN

原理：两点之间线段最短，，，与两直线交点即为，，则＋＋的最小值为线段

PPMNAMMNPNPP

的长

【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小ll

12

问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q，PM＝PM，QN＝QNll

12

原理：两点之间线段最短，连接，与两直线交点即为，，则＋＋的最小值为线段

PQMNPMMNQN

的长，周长最小值为＋

PQPQPQ

【问题7】，分别为，上的定点，，分别为，上的动点，求llll最小值

AB12MN12AN＋MN＋BM

问题解决：分别作，关于，的对称点，，则llAN＝AN，，即所求

AB12ABBM＝BMAB

原理：两点之间距离最短，，，，共线时取最小，则＋＋＝＋＋≤

ANMBANMNBMANMNBMAB

三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值

问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B，连接BM