大变形问题的有限单元法课件.pptxVIP

2000.41大变形问题的有限单元法

2000.421.弹性大变形问题的有限元法弹性大变形问题，需要考虑变形的非线性项和变形对平衡的影响。若以初始自然平衡状态作初始位形，则物质描述的格林应变为式中线性部分非线性部分

2000.43为便于计算机编程，将张量转换为矩阵：格林应变矩阵和张量的分量间有如下关系对应的克希荷夫应力矩阵和张量分量间关系为引入两个算子矩阵

2000.44式中再引入位移梯度向量的记号3阶单位矩阵

2000.45在上述符号基础上，格林应变由位移表为则单元格林应变为其中线性应变矩阵B和有限元(I)一样设单元位移场和有限元(I)一样为非线性部分“应变矩阵”为

2000.46式中G为如下9×3m的矩阵

2000.47式中AL为如下6×9的矩阵

2000.48由(AL)可见，格林应变-位移关系是非线性的。非线性部分因为所以为用虚位移原理建立单元特性方程，还得建立应变增量和位移增量间的关系。对线性部分综上所述，格林应变增量为验证如果记，则。

2000.49对弹性问题，在物质描述下本构关系为在上述基础上，由虚位移原理可得式中为单元结点力矩阵，为单元等效结点荷载矩阵由于应变、应力以矩阵表示，因此弹性矩阵应按下式并考虑应变矩阵定义来建立

2000.410Pd和PE分别为直接和等效结点荷载矩阵，R为综合等效结点荷载矩阵。上式也可写为将克希荷夫应力表达式代入，可得按集成规则集装后可得

2000.411根据本构方程，则有式中K(U)是非对称的，为对非线性弹性问题、和都是位移的函数。根据非线性方程切线刚度矩阵的定义，可得又因B、G为已知矩阵

2000.412式中所以又因,所以

2000.413由此可得式中基于上述说明，可得

2000.414如果引入如下记号则单元切线刚度矩阵为初应力或几何刚度矩阵线弹性刚度矩阵大位移刚度矩阵“结构”切线刚度矩阵为建立了切线刚度矩阵，用牛顿法等即可求解。

2000.415本节的讨论没涉及具体单元，因此具有普遍性。具体单元分析时，因形函数一般是自然坐标的函数，故需作坐标变换后代入相关公式，从而建立具体单元的切线刚度矩阵。需要指出的是建议自行对各种单元自行推导切线矩阵。本节只讨论了全量形式的弹性大变形分析，具体求解步骤如讲义所示。为了保证收敛，拟用增量迭代法。对第二类稳定问题（极值点失稳问题）、弹塑性问题等，必须用3.所介绍的增量形式来解决。To26在我们、王勋成、谢贻权、徐次达等的有限元教材中，都有一些具体单元的切线刚度矩阵，需要时可供参考。

2000.4162.弹性分支点稳定问题有限元分析对分支点稳定问题，关键是建立几何刚度矩阵。此时，以失稳前的平衡位置作初始位形，以失稳形态作现时位形。和前述弹性大变形不同的是：大位移矩阵可忽略。应变仅包含失稳位移的非线性项。分支点处相应失稳位移的综合荷载为零。注意到上述差异，即可用上节结果解决分支点稳定的有限元分析。失稳前变形是微小的。

2000.417设变形前单元长度为l，截面积为A，弹性模量为E。单元杆端位移矩阵为δe式中2.1桁架单元。单元位移为式中为失稳位移。基于此，单元格林应变为

2000.418克希荷夫应力为因分支点稳定关心的临界荷载，临界荷载时平衡有两重性，故临界状态应力等于失稳前状态的应力，也即基于上述结果，单元几何刚度矩阵为，失稳前应力为

2000.419设变形前单元长度为l，截面积和惯性矩为A、I，弹性模量为E。单元杆端位移矩阵为δe单元位移为式中2.2梁单元

2000.420式中Ni和有限元(I)一样。梁单元应变为其中第一项为有限元(I)里的线性项，非线性的第二项为基于上述结果，单元几何刚度矩阵为象桁架单元说明一样，单元应力为同结构力学

2000.421有限元(I)里的二维问题单元位移为2.3二维单元(薄板稳定)但失稳时的位形，将有出平面的位移w，和杆单元一样，应变需考虑w及其非线性项非线性项

2000.422设出平面位移为面内弹性应力为对出平面位移，其G矩阵为对应的M矩阵为

2000.423对各种具体单元，将Nw的具体形函数代入G矩阵的表达式，即可积分得到具体单元的几何刚度矩阵。