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动量矩定理

转动惯量动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程习题与思考题本章内容

12.1转动惯量转动惯量是表征刚体转动惯性大小的一个重要物理量。本节介绍转动惯量、惯性积、惯性主轴以及平行轴定理。一、刚体对轴的转动惯量转动惯量是表征刚体转动惯性大小的一个重要物理量。设有一刚体及任一轴z(如图12.1所示)，刚体上任一点的质量为mi，与轴z的距离为ri，则各点质量mi与的乘积之和称为刚体对z轴的转动惯量，用符号Jz表示可见，刚体对某一轴的转动惯量不仅与刚体的质量大小有关，而且与质量的分布有关。刚体质点离轴越远，其转动惯量越大；反之则越小。例如，为了使机器运转稳定，常在主轴上安装一个飞轮，飞轮边缘较厚、中间较薄且有一些空洞，其在质量相同的条件下具有较大的转动惯量。从式(12.1)知，转动惯量总是正标量。它的量纲为：dim[J]=[M][L]2，单位为：kgm2等。在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式(12.1)

12.1转动惯量其中m为整个刚体的质量，为刚体对z轴的回转半径，它具有长度的量纲。由式(12.2)得如果已知回转半径，则可按式(12.2)求出转动惯量；反之，如果已知转动惯量，则可由式(12.3)求出回转半径。(12.2)(12.3)图12.1刚体对轴的转动惯量必须注意，回转半径只是在计算刚体的转动惯量时，假想地把刚体的全部质量集中在离轴距离为回转半径的某一圆柱面上，这样在计算刚体对该轴的转动惯量时，就简化为计算这个圆柱面对该轴的转动惯量。对于质量连续分布的刚体，可将式(12.1)中的mi改为dm，而求和变为求积分，于是有(12.4)

12.1转动惯量【例12.1】等截面匀质细杆(如图12.2所示)，长AB=l，质量为m，试求其对通过杆端点且与杆垂直的y轴的转动惯量。图12.2匀质杆解：设杆单位长度的质量为，取坐标系如图所示，取杆上一微段dx，其质量为，则此杆对y轴的转动惯量为杆的质量，于是

12.1转动惯量【例12.2】求半径为R，质量为m的匀质圆环(如图12.3所示)对中心轴z的转动惯量。解：将圆环沿圆周分成许多微段，设每段的质量为mi，由于这些微段到中心轴的距离均为半径R，所以圆环对z轴的转动惯量为(12.5)【例12.3】求半径为R，质量为m的匀质等厚薄圆板对通过质心且与板面垂直的z轴的转动惯量。图12.3匀质圆环图12.4匀质圆板

12.1转动惯量解：如图12.4所示，将圆板分为无数同心圆环，任一圆环的半径为ri，宽度为dri，则圆环的质量为，式中，是匀质圆板单位面积的质量。圆板对中心轴的转动惯量为(12.6)一、刚体对轴的转动惯量从转动惯量的计算公式可见，同一刚体对不同轴的转动惯量一般是不同的。转动惯量的平行轴定理给出了刚体对通过质心的轴和与它平行的轴的转动惯量之间的关系。定理刚体对于任意轴的转动惯量，等于其通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即(12.7)

12.1转动惯量证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为因为,于是图12.5平行轴坐标

12.1转动惯量由质心坐标公式因为坐标原点取在质心，，于是得定理证毕。由平行轴定理可知，在所有平行轴中，刚体对过质心的轴的转动惯量最小。

12.1转动惯量【例12.4】质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。解：由例12.1知,根据平行轴定理式(12.7)有图12.6匀质