空间向量的应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.1用空间向量研究空间直线平面的位置关系普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何第一课时空间中点、直线和平面的向量表示

学学习目标1、能用向量语言表示空间中的点、直线与平面.2、理解直线的方向向量、平面的法向量的含义.3、掌握求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量.

导课程导入赤道式日晷：依照使用地的纬度，使晷面平行于赤道面，且晷针与晷面垂直，是中国古代最经典的计时仪器.如图1.图1图2如图2，如何用向量表示点B的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置?

新新课感知我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．

新新课感知问题1:在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？OP图1.4-1如图1.4-1，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.

问题2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．你能将空间中确定直线l的这组条件转化为向量表示吗?APl用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点P．新新课感知

新新课感知图1.4-2如图1.4-2，是直线l的方向向量，在直线l上取设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：点P在直线上的充要条件是存在实数t，使得：

图1.4-3新新课感知进一步地，如图1.4-3，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在点P在直线上的充要条件是存在实数t，使：①将代入①式，得：②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量唯一确定．

图1.4-4新新课感知问题3:我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗？如图1.4-4，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为和，P为平面α内的任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得：这样，点O与向量，不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.

图1.4-5新新课感知进一步地，如图1.4-5，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y使：③我们把③式称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

问题4:给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面．新新课感知

新新课感知图1.4-6如图1.4-6，直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量（normalvector）.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合

（1）不共线的三点确定一个平面（2）直线和直线外一点确定一个平面（3）两条相交直线确定一个平面（4）两条平行直线确定一个平面（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？新新课感知如何确定一个平面？（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？

新新课感知问题:如图，若另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量，与有什么关系？垂直于同一平面的两条直线平行，故当两条直线l⊥α，m⊥α时，直线l的方向向量与直线m的方向向量共线，平面的法向量并不唯一，它们的模长可以不同，其方向相同或相反.

例例题讲解yxzDABCD1A1B1C1M例1已知长方体ABCD--A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量；（2）求平面MCA1的一个法向量．(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.

解:z是自由变量yxzDABCD1A1B1C1M例例题讲解

新新课感知最好法向量不要