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动态规划的基本思想

动态规划是一种常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问

题的算法思想。它将问题分解成一系列子问题，并通过解决子问题

构建出整个问题的最优解。动态规划的基本思想是将原始问题转化

成一个或多个相似的子问题，然后通过解决这些子问题获得原始问

题的解。这种思想在很多实际问题中都能够得到应用。

动态规划的基本流程一般包括以下几个步骤：

1.将原始问题分解为子问题：首先需要将原问题划分为多个子问题，

并且确保这些子问题之间有重叠的部分。

2.定义状态：确定每个子问题需要求解的状态，也即问题需要达成

的目标。

3.确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定子问题之间的

状态转移方程，即如何将子问题的解转移到原问题的解。

4.解决首个子问题：解决最基本的子问题，获得初始状态下的解。

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5.填充状态表格：根据状态转移方程，依次求解其他子问题，并且

填充状态表格。

6.求解原问题：通过填充状态表格，在保证状态转移方程的基础上

求解原问题的最优解。

动态规划的关键在于将原问题转化为子问题，通过递归或者迭代的

方式求解子问题，最终获得原问题的最优解。在这个过程中，重叠

子问题的求解是动态规划的特点之一。由于问题的子问题存在重叠，

所以在求解的过程中我们可以保存已经求解过的子问题的解，避免

重复计算，从而提高效率。动态规划还要求问题具有最优子结构特

征，即问题的最优解可以通过子问题的最优解构建出来。通过利用

已解决的子问题的最优解，可以有效地解决原问题。

动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。它可以用于解决很多

经典的问题，如最长公共子序列、0-1背包问题、最大子数组和等。

动态规划算法可以有效地解决这些问题，使得它们的时间复杂度得

到了有效的降低。

总结来说，动态规划的基本思想是将原始问题转化为子问题，并通

过解决子问题构建整个问题的最优解。动态规划算法通过保存已经

解决的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。动态规

划算法在实际应用中具有广泛的应用，是解决具有重叠子问题和最

优子结构特征的问题的常用算法思想。通过深入理解动态规划的基

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本思想和算法流程，我们可以更加高效地解决实际问题，提高算法

的效率。

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