2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷（A卷）含详解.docx

复旦大学附属中学2024学年第一学期

高一年级数学期中考试试卷（A卷）

考生注意：

1．本试卷共4页,21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．

2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试卷与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分．

一,填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,第1—6题每题4分,第7—12题每题5分,请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．

1．关于的不等式的解集为．

2．已知集合,则实数的取值范围为．

3．已知集合,,则．

4．已知函数的定义域为,则函数的定义域为．

5．已知集合,且满足：“若则”,则满足条件的集合的个数为．

6．已知函数是上的严格增函数,则实数的取值范围为．

7．若对一切实数,不等式恒成立,则实数的取值范围为．

8．关于的不等式（,,均为实数）的解集为,则关于的不等式解集为．

9．已知关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围为．

10．已知函数定义在上,且对任意的,,,都有,,则不等式的解集为．

11．已知函数,,且同时满足下列三个条件：

①对任意的,都有成立.

②对任意的,都有成立.

③对于,都有成立.

则．

12．已知正数,,满足,,则的最小值为．

二,选择题（本大题满分18分）本大题共有4题,第13—14题每题4分,第15—16题每题5分,每题有且只有一个正确选项,请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．

13．如果,那么下列不等式恒成立的为（???）．

A． B．

C． D．

14．设集合,,则“”是“”的（???）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

15．已知,为常数,且,满足．若关于的方程只有一解,则的值的个数为（???）．

A．1 B．2 C．3 D．以上都不对

16．已知,若存在,使得不等式能成立,则实数的取值范围为（???）．

A． B．

C． D．

三,解答题（本大题满分78分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．

17．已知全集,集合,．

(1)当时,求.

(2)若“”是“”的必要非充分条件,求实数的取值范围．

18．为实现节能减排,绿色生态的目标,某单位进行技术攻关,采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月处理量为多少吨时,每月的总获利最大,并求这个最大获利值．

19．教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中,正方形的面积最大,命题②在面积为常数的所有矩形中,正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中,必存在一条封闭曲线,使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线,围成或围成四边形．请完成以下问题：

(1)如图1,围成,两边之和,且,求的面积的最大值.

(2)如图2,围成平行四边形,且,求平行四边形的面积的最大值．

20．已知函数,其中．

（1）判断函数的奇偶性,并说明理由.

（2）记点,求证：存在实数,使得点在函数图像上的充要条件是.

（3）对于给定的非负实数,求最小的实数,使得关于的不等式对一切恒成立.

21．若函数y=fx的定义域,值域均为,则称y=fx为上的方正函数.

(1)若为区间的方正函数,求实数的值.

(2)是否存在实数对,使得函数为区间上的方正函数？若存在,请写出符合要求的所有实数对,若不存在,请说明理由.

(3)设fx=ax2+bx+c,,求非负实数的取值范围,满足：存在实数,使得均为上的方正函数．

1．

【分析】利用不等式的性质可求解.

【详解】由,可得.

所以不等式的解集为.

故答案为：.

2．

【分析】利用集合元素的互异性可求解.

【详解】由集合,可得,解得.

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

3．

【分析】求出集合,再根据交集的运算法则求两个集合的交集.

【详解】因为或.

所以.

故答案为：

4．

【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域.

【详解】因为函数的定义域为.

由.

所以函数的定义域为：.

故答案为：

5．5

【分析】先根据,确定集合的个数,再排除不满足条件的集合即可.

【详解】首先：因为,所以集合的个数为：个.

其中：,,不满足条件：“若则”.

故满足条件的