超松弛迭代法方法的应用.docVIP

CENTRAL

数值分析实验报告

超松弛迭代法的应用

一、问题背景

在科学计算和工程设计中，经常会遇到求解线性方程组的问题，而快速精确求解一直是我们追求的目标，随着计算机技术的开展，我们可以借助计算机使用很多方法来帮助求解，如直接法等，但通常都只能适用于经过有限步运算能求得解的方程，对于方程数和未知数都很多的方程组，计算量往往相当大，因而人们在寻求其他求解方法的时候，发现了迭代法的巨大优点，从最初的Jacobi迭代法到Gauss-Seidel迭代法，计算过程变得快速简洁。在Guass-Seidel迭代法的根底上，人们发现迭代—松弛—再迭代的方法，能更加减少计算步骤，极大地缩短计算时间，在此根底上，人们进一步发现超松弛迭代法的收敛速度最快，而且超松弛迭代法具有计算公式简单，编制程序容易等突出优点。通过选择适宜恰当的松弛因子能直接控制算法的收敛性和收敛速度。

二、数学模型

一般而言，因Jacobi迭代收敛速度不够快，所以在工程中用的不是太多。在Jacobi迭代手链速度很慢的情况下，通常Guass-Seidel也不会很快。因此，可以对Guass-Seidel做修改，提高收敛速度，这就是这里要介绍的超松弛迭代法。

三、算法及流程

在Guass-Seidel中迭代格式为

可以将迭代格式改写为

其中

如果在修正项上加上一个参数，便使得松弛迭代法公式

上式可以改写为

当时候，就退化为Guass-Seidel迭代法；时，称为逐次超松弛迭代法；时，称为逐次低松弛迭代法。通常，统称为逐次松弛迭代法。

MATLAB实现代码：

翻开编辑器，输入以下语句并保存为Fsor.m文件。

function[x,k]=Fsor(A,b,x0,w,tol)

max=300;

if(w=0||w=2)

error;

return;

end

D=diag(diag(A));

L=-tril(A,-1);

U=-triu(A,1);

B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);

f=w*inv((D-L*w))*b;

x=B*x0+f;

k=1;

whilenorm(x-x0)=tol

x0=x;

x=B*x0+f;

k=k+1;

if(k=max)

disp(迭代次数过多，SOR方法可能不收敛);

return;

end

[k,x]

end

四、计算结果及分析

用超松弛迭代法，求解方程组

要求计算精度为

翻开编辑器输入以下命令并以文件名sor.m保存文件。

a=[5-1-1-1

-110-1-1

-1-15-1

-1-1-110];

b=[-412834];

x0=[1111];

[x,k]=Fsor1(a,b,x0,1.2,1e-7)

运行程序，在命令窗口输入

sor

运行得到：

x=

1.000000009833877

1.999999995028638

3.000000000713360

4.000000002119737

k=

14

计算结果说明迭代到14次时，已经满足精度。为了进一步分析迭代过程中的收敛情况，下面给出的是每一步的迭代值：

ans=

Columns1through4

Column5

3.985238565152359

ans=

Columns1through4

Column5

4.009675528231265

ans=

Columns1through4

Column5

ans=

Columns1through4

Column5

4.000874935426618

ans=

Columns1through4

6.0000000000000001.0003038268767061.9996499119555413.000442322902451

Column5

3.999872540322841

ans=

Columns1through4

7.0000000000000000.9999307806680592.0000994948760942.99988821122758