第78讲、参数范围与最值（教师版）2025高考数学一轮复习讲义.pdfVIP

第讲参数范围与最值

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知识梳理

1、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这

是几何法．

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求

该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法

等，这就是代数法．

2、求参数范围问题的常用方法

构建所求几何量的含参一元函数，形如ABfk，并且进一步找到自变量范围，进而



求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：

a

（1）二次函数；（2）“对勾函数”yx(a0)；（3）反比例函数；（4）分式函数．若

x

出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自

变量的取值范围在Δ0或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可

以从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关

系．

③利用基本不等式求出参数的取值范围．

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

必考题型全归纳

题型一：弦长最值问题

222

例1．（2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆O:xyr的任意一条切

22

线l与椭圆M:xy1都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）

124

（1）求圆O半径r的取值范围；

（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及OAOB的最大

OAOB0

值；若不存在，说明理由.

1

0r2O

【解析】（）当时，圆在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内

1

部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当r2时，圆的切线yr和yr都

和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；

r(0,2)

故的取值范围是.

x2y2

1

（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为ykxm，设A(x,y),B(x,y)，由124

1122

ykxm



6km2