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1.2-1.3空间向量的基本定理及坐标运算
知识
知识归纳
1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
2.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则，
，，
，
，
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，
④，三角形重心P坐标为
⑤ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
ΔABC中①=A为锐角②=A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
或
3.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。②（交换律）。
③（分配律）。
④不满足乘法结合率：
考点讲解
考点讲解
题型一：空间向量的基本定理
1．（2024·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设将作为空间的一组基底，先利用基底表示，再利用向量数量积的运算律求模长即得.
【详解】
??
如图，不妨取
则
因，
故
，则.
故选：A.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【详解】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C
3．（多选）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可．
【详解】由题意可知，，
对于A，，故A正确；
对于B，又因为，
所以，
所以，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
4．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为.
【答案】/0.5
【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底，将相关向量分别用基底表示，再利用平面，确定必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.
【详解】
如图，不妨设，依题意，,
，
因，则
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
从而有，解得.
故答案为：.
题型二：空间向量的坐标表示
1．（2024·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案.
【详解】因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得，
故选：A
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用关于轴对称的点的横坐标不变，其它坐标变号即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
故选：C.
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可
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