第十二章全等三角形添加辅助线专项练（含答案）2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册.docxVIP

第十二章全等三角形添加辅助线专项练

1．阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．

（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．

（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．

2．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线．

(1)求的度数；

(2)若，求的长．

3．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．

（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；

（2）判断BEG的形状，并说明理由．

4．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．

5．如图，在ΔABC中，，，，，延长交于.求证：.

6．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．

求让：

7．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．

(1)证明：；

(2)如果，，求AE、BE的长．

8．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．

9．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．

(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；

(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．

10．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．

（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．

（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

小明第（1）问的证明步骤是这样的：

延长到Q使，连接，

证出得到，；

再证，得到，证出，即．

请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．

参考答案：

1．（1）；（2）见解析；（3）见解析．

（1）如图1延长到点，使得，再连接，

∵AD为中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△????EDB中，

∵CD=BD，

∠ADC=∠EDB，

AD=ED，

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴AC=EB=6，

，

∵，

∴，

∴，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，

由D为BC中点，BD=CD，

在△FDC和△GDB中，

∵CD=BD，

∠FDC=∠GDB，

FD=GD，

∴△FCD≌△GBD（SAS），

∴FC=GB，

∵，DF=DG，

∴EF=EG，

在△BEG中EGEB+BG，即，

（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，

由是边上的中点，

∴BD=CD，

在△ADC和△GDB中，

∵CD=BD，

∠ADC=∠GDB，

AD=GD，

∴△ACD≌△GBD（SAS），

∴AC=GB，∠DAC=∠G，

∵BE=AC，

∴BE=BG，

∴∠BED=∠G=∠CAD．

2．(1)度

(2)10

（1）解：∵为的角平分线，

∴

∵，

∴，

∴

（2）解：在上截取，连接．

∵为的角平分线．

∴，

∵，

∴，

∵

∴，

∴

∴，

又∵，

∴

∴，

∴

3．（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析

证：（1）BE＝AD，理由如下：

如图，延长BE、AC交于点H，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝∠AEH＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠HAE，

在△BAE和△HAE中，

，

∴△BAE≌△HAE（ASA），

∴BE＝HE＝BH，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，

∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，

在△BCH和△ACD中，

，

∴△BCH≌△ACD（ASA），

∴BH＝AD，

∴BE＝AD．

（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：

∵AC＝BC，AF＝BF，

∴CF⊥AB，

∴AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，

∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，

∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，

∵∠BEG＝90°，

∴∠EBG＝∠EGB＝45°，

∴EG＝EB，

∴△BEG是等腰直角三角形．

4．见解析

解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，

∵AB=AC，∠A=100°，

∴∠ABC=∠A