第三章整式及其加减4问题解决策略：归纳.pptx

北师大2024版数学七年级(上)

第三章整式及其加减

4.问题解决策略：归纳

归纳法解决问题

教学过程

情景引入

在本章学习过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。

教学目标

重点难点

1.进一步掌握用归纳法从特殊情形找到一般规律的过程.(重点)

2.利用归纳法从来解决问题.(难点)

这两幅图片是“低多边形风格”的数字艺术设计图案，在长方形内三角形的个数与所取点数之间有什么数量关系?

观察下面两幅图片：

当长方形内有35个点时，有多少个三角形?

6个6个

长方形个数内有2个点

长方形个数内有1个点

提出问题

4个

教学过程

理解问题

1.动手画一画，感受分割三角形的过程

2.已知条件是什么?目标是什么?

已知条件：长方形内有35个点。

连接各点(包括四边形的四个顶点),形成三角形，要求所有连线不产生新点。

教学过程

拟定计划

1.直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难?

四边形内点的个数较多，分割连点时，容易漏掉一部分点。

2.哪些情形容易研究?从中你能发现什么规律?

四边形内点的个数较少时易于研究，从点的个数增加与三角形个数增加的关系入手，利用归纳法发现规律。

3.你发现的规律正确吗?你能给出合理的解释吗?

用所学知识验证并解释。

1.先研究长方形内有3个点、4个点的情形

8个

1.先研究长方形内有3个点、4个点的情形

10个

实施计划

2.统计数据，寻找规律

四边形内点的个数

1

2

3

4

三角形的个数

4

6

8

10

发现规律：长方形内点的个数增加1,三角形的个数增加2.

教学过程

教学过程

实施计划

3.验证猜想，得出结论

猜想是合理的。在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2。因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是：

4+2×34=72

教学过程

回顾反思

(1)如果长方形内有100个点呢?一般地，如果长方形内有n个点呢?

(2)你还能提出并解决什么问题?

(3)从简单的情形开始思考有什么好处?通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验?

教学过程

实践应用

例1.【规律探索】观察以下等式：

第1个等式：

第2个等式：

第3个等式：

■■

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：,由此可计算的结果为

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示).

教学过程

实践应用

例2.观察以下等式.

第1个等式：1×2×3×4+1=(1²+3×1+1)².

第2个等式：2×3×4×5+1=(2²+3×2+1)².

第3个等式：3×4×5×6+1=(3²+3×3+1)².

第4个等式：4×5×6×7+1=(4²+3×4+1)².

按照以上规律，解决下列问题.

(1)写出第5个等式：

(2)写出你猜想的第n个等式.(用含n的式子表示).

例3.乐高是开发动手能力的一门课，思睿同学用乐高玩具搭建了一些边长为1的小正方形和等边三角形的“城堡”图形.观察图形，回答下列问题：

(1)图1的周长为12,图2的周长为19,图3的周长为26,图4的周长为,.....,图n的周长为

(2)我们把小正方形和等边三角形统称为“基本图形”,图1有6个基本图形，图2有12个基本图

形，图3有20个基本图形，猜想：图5有个基本图形；

教学过程

实践应用

解：(1)由所给图形可知，图1的周长为：12=1×7+5;图2的周长为：19=2×7+5;图3的周长为：26=3×7+5;图4的周长为：33=4×7+5;..,依次类推，图n的周长为：7n+5.故答案为：33,7n+5.

教学过程

实践应用

(2)由所给图形可知，图1中基本图形的个数为：6=

2×3;图2中基本图形的个数为：12=3×4;图3中基本图形的个数为：20=4×5;..,依次类推，图n中基本图

形的个数为：(n+1)(n+2).当n=5时，(n+1)

(n+2)=42(个),即图5中基本图形的个数为42个.

故答案为：42.

教学过程

归纳总结

在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律。