数学学案：课堂探究利用导数判断函数的单调性.docxVIP

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课堂探究

探究一函数图象的升降与导数的关系

要解决函数图象的升降与导数的关系问题，主要从两方面入手：一是观察原函数的图象,重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势；二是观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．

【典型例题1】设函数f(x）在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为（)

思路分析：根据给出的函数图象分析函数图象的升降情况，确定导数的正负，得出导数图象的情况．

解析:观察原函数图象可知,在y轴左侧，函数f(x)图象是上升的,因此对应导数为正，图象在x轴上方，在y轴右侧，函数f(x)的图象是先升、再降、最后上升，故对应导数应为先正、再负、最后为正，图象自左向右依次在x轴上方、下方、再上方，故选D.

答案:D

探究二求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′（x）＜0,不等式的解集就是函数的单调区间，但要特别注意的是,不能忽视函数的定义域,应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．

利用导数求函数单调区间的步骤：

（1)求函数定义域；

(2）对函数求导；

(3）令导函数大于零，解不等式得递增区间；令导函数小于零，解不等式得递减区间．

【典型例题2】求下列函数的单调区间．

（1)y＝x3－9x2＋24x；

(2)f（x)＝x2－lnx.

思路分析：利用函数单调性的判定法则，转化为关于导数的不等式求解．

解：(1）y′＝（x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4），令3(x－2）(x－4)＞0,解得x＞4或x＜2.

所以y＝x3－9x2＋24x的递增区间是（4,＋∞）和(－∞,2）．

令3(x－2）（x－4)＜0，解得2＜x＜4。

所以y＝x3－9x2＋24x的递减区间是（2,4)．

（2)函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，

因为f′（x)＝2x－eq\f(1,x）＝eq\f（2x2－1,x），

所以令f′(x）＞0,则x＞eq\f(\r（2)，2),

令f′(x）＜0，则0＜x＜eq\f（\r(2），2)，

所以函数f(x）＝x2－lnx的递减区间为eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2）,2））），

递增区间为eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2），＋∞)).

探究三利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求参数的取值范围问题往往转化为不等式恒成立问题，其常用方法有两种：一是f（x）在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′（x)≤0在（a，b）内恒成立,要注意验证等号是否成立；二是利用集合的包含关系处理，f(x）在(a,b）上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

【典型例题3】已知函数f(x)＝eq\f(2，3)xeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（x2－3ax－\f（9，2))）（a∈R），若函数f（x)在(1，2）内是增函数，求a的取值范围．

思路分析:本题先求导，转化为f′(x）≥0在(1，2)上的恒成立问题．

解：因为函数f(x)在（1,2）内是增函数，

所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈（1,2）恒成立，所以a≤eq\f(x,2)－eq\f（3，4x)，x∈（1,2）．

令g(x)＝eq\f(x，2)－eq\f(3，4x)，x∈(1，2),g′（x)＝eq\f(1,2）＋eq\f（3，4x2）＞0恒成立，

所以g（x)＝eq\f（x，2）－eq\f（3，4x）在(1，2)上是增函数，当x＝1时，g(x)＝－eq\f（1，4)，所以a≤－eq\f（1,4）。

探究四易错辨析

易错点恒成立问题漏掉等号

【典型例题4】已知f(x）＝x＋eq\f(a,x)在[1，＋∞）上是增函数，求a的取值范围．

错解：f′(x）＝1－eq\f（a,x2).

由题意得1－eq\f（a，x2）＞0在［1,＋∞)上恒成立，

即a＜x2在[1，＋∞）上恒成立．

因为x2在［1，＋∞）上的最小值为1,

所以a＜1，即a的取值范围为（－∞，1)．

错因分析：f(x)在［1，＋∞）上是增函数时,导函数f′（x)≥0在［1,＋∞）上恒成立;而错解用了f（x）在［1，＋∞）上是增函数时，f′（x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．

正解：f′（x）＝1－eq\f（a，x2）。由题意，得1－eq\f(a,x2）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≤x2在[1，＋∞)上恒成立．

因为x2