全国初中数学竞赛《圆》历届真题.docVIP

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初中数学竞赛《圆》历届考题

1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值.

解：连结AP，则，

所以，△APB∽△ADP，…………（5分）

∴，

所以，

∴，…………（10分）

A1BCDAB

A1

B

C

D

A

B1

C1

I

2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是

点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接

圆上，则∠ABC等于（）

A、30°B、45°C、60°D、90°

答：C

解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以

点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，

所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°

（第3题图）ABCDOQP3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点

（第3题图）

A

B

C

D

O

Q

P

（A）（B）（C）（D）

答：D．

解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，

QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．

即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，

（第4题）ABCOPEK4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K

（第4题）

A

B

C

O

P

E

K

证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，

所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP，

所以，即．

由切割线定理得

所以．…………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

故，

即PE·AC=CE·KB．………………15分

5（07）已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（）．

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

答：（B）．

解：如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，

均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，

且为两圆的公共弦，所以．

（第3题答案图）于是，．

（第3题答案图）

若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．故选（B）．

6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

（第13A题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，．……………5分

（第13A题答案图）

两式相减可得，

又，

于是有，即，

所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：

（1）；

（2）△∽△．

证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，

所以．

又因为，所以△∽△，

于是有，从而△∽△，所以．又已知，所以，．………………10分

（2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有，所以，因此△∽△．………………15分

ABCDEIrha（第8题）8、△

A

B

C

D

E

I

r

ha

（第8题）

解：如图，设△ABC的三边长为，

内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则

，所以，

因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此

所以DE＝

故DE＝。

9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（B）。

ABCODE（第9题）A、B、

A

B

C

O

D

E

（