二次函数的最值（解析）-2025届高三数学一轮复习.docx

二次函数的最值

二次函数在某一闭区间上的最值：

首先将二次函数式化为的形式．

1．若顶点的横坐标在给定的区间上，则

当时，

在顶点处取得最小值，

在离对称轴较远的端点处取得最大值．

当时，

在顶点处取得最大值，

在离对称轴较远的端点处取得最小值．

二次函数在某一闭区间上的最值：

首先将二次函数式化为的形式．

2．若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

当时，

最小值在距离对称轴较近的端点处取得，

最大值在距离对称轴较远的端点处取得．

当时，

最大值在距离对称轴较近的端点处取得，

最小值在距离对称轴较远的端点处取得．

3．二次函数在闭区间上的最值问题的思路：

抓住“三点一轴”数形结合，

“三点”是指区间两个端点和中点，

“一轴”指的是对称轴，结合配方法，

根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．

1.函数在上的最小值是（）【答案】B

A．B．C．D．

2．当时，二次函数的值域为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】∵，，

∴，．

3．函数，的值域是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

∵，，

∴，．

4．对任意的时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设，∴．

∵二次函数开口向上，最大值在端点处取得，

∴，解得．

考点一对称轴、区间都给定

【例1】如果函数的图象关于直线对称，求函数的的最大值为，最小值为，则的值为（）

A． B．C． D．

【答案】C

【解析】∵在上的图象关于直线对称，∴解得，∴，．∴.

∵，∴时，；.

【方法技巧】二次函数在上的最值：

(1)当时，

是它的一个最值，

另一个最值在区间端点处取得．

(2)当时，

最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．

考点二对称轴定、区间变动

【例2】已知二次函数，在上有最大值，求的解析式．

【解析】∵，对称轴是．

当，即时，有，

当，即时，有，

∴

【方法技巧】二次函数在区间上的最值的步骤：

（1）求最大值时需分两类，

当时，；

当时，．

（2）求最小值时需分三类．

当时，；

当时，；

当时，．

【变式】已知二次函数，在上有最小值，求的解析式．

【解析】当，即时，，

当，即时，，

当时，，

∴

考点三对称轴动、区间固定

【例3】已知二次函数，当上有最小值，求的解析式．

【解析】∵，对称轴是．

当，即时，，

当，即时，，

∴

【方法技巧】二次函数在区间上的最值的步骤：

（1）求最大值时需分三类，

当时，；

当时，；

当时，．

（2）求最小值时需分两类，

当时，；

当时，．

【变式】已知在时有最大值，求的值．

【解析】二次函数的对称轴是

当时，则时，，解得．

当时，则时，，无解．

当时，则时，，有．

综上可知，或．

1．函数，的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，

∴当时，，

当时，．

2．已知函数在区间上的最小值为，则实数的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵对称轴是，∴在上单调递增，

∴，解得．

3．函数在上有最大值，最小值，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】∵，

且，

∴由二次函数的图象可知，．

4．若，且，则的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】∵，且，∴，

∵，

∴当时，取得最小值是．

5．已知在上递减的函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围是()

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】的图象的对称轴为，

∵在上是减函数，∴.

则在区间上，，，

∵任意的，都有，

∴，解得.又，∴.

6．（多选题）已知函数的值域为，则实数的值可以是()

A．B．C．D．

【答案】BC

【解析】∵的值域为，

∴，

解得或，故选BC.

7．（多选题）已知函数，,且函数的最小值为，则的值可以是（）

A．