二项式定理-2025届高三数学一轮复习.docx

二项式定理

1．二项式定理

(1)定理

．

(2)通项为展开式的第项．

2．二项式系数与项的系数

(1)二项式系数

二项展开式中各项的系数叫做二项式系数．

(2)项的系数

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．

3．二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，即.

增减性

二项式系数

当时，是递增的．

当时，是递减的．

最大值

当为偶数时，第项的二项式系数取得最大值．

当为奇数时，第项和项的二项式系数

与取最大值.

4．各二项式系数的和

的展开式的各个二项式系数的和等于，

即

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，

即．

1．设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）

A．B．C．D．

2．已知的展开式中的系数为，则（）

A．B．C．D．

3．若的展开式中存在常数项，则可以为（）

A．8B．9C．10D．11

4．若，则（）

A．B．C．D．

考点一求二项展开式中的特定项或指定项的系数

【例1】（1）的展开式中，常数项是（）

A．B．C．D．

（2）使展开式中含有常数项的的最小值是（）

A．B．C．D．

【方法技巧】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项

可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数

可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．

【变式】若的展开式中的系数是，则实数_______．

考点二二项式系数的和或各项系数的和的问题

【例2】（1）设，若，则展开式中系数最大的项是()

A．B．C． D．

（2）)设,则的值为()

A．B．C．D．

【方法技巧】赋值法研究二项式的系数和问题

（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，

(2)对形如、的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可；

(3)对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．

【变式】若，且，则实数的值为()

A．或B．或C．D．

考点三多项式展开式中的特定项或系数问题

【例3】（1）的展开式中常数项为（）

A．B．C．D．

（2）的展开式中，的系数为（）

A．10B．20C．30D．60

【方法技巧】多项式展开式中的特定项或系数问题

(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

【变式】的展开式中，的系数为．

1．二项式的展开式中，常数项的值是（）

A．B．C．D．

2若的展开式中常数项为，则实数（）

A．B．C．D．

3．若展开式中的所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为（）

A．B．C．D．

4．（其中且）的展开式中与的系数相等，则=（）

A．B．C．D．

5．设，且，若能被整除，则（）

A．0 B．1C．11 D．12

6．展开式中项的系数为（）

A．B．C．D．

7．展开式中的常数项为（）

A．B．C．D．

8．若，则的值为（）

A．B．C．D．