2024-2025学年上海七宝中学高二上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docx

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七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期中

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.直线与直线的夹角的大小是.

2.平行直线与之间的距离是.

3.若直线的倾斜角的取值范围是,则其斜率的取值范围是.

4.过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于两点,则.

5.若圆与轴相切,则实数的值是.

6.点在焦点为的椭圆上,且,则.

7.已知直线,若,则实数的值为.

8.已知为坐标原点,若双曲线的右支上存在两点,使

得，则的离心率的取值范围是.

9.直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，实数的值是.

10.等轴双曲线（为常数）在第一象限的焦点坐标为.

11.若点是椭圆的左、右焦点,为椭圆上一动点,点的坐标为,则周长的最小值为.

12.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中在第一象限），的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则直线的斜率为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）

13.下列各组两个方程表示相同曲线的是（）.

A.B.C.D.

14.是方程表示焦点在轴上的椭圆的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要

15.在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（）.

A.椭圆的内部B.双曲线右支的开口侧C.抛物线的开口侧D.圆的内部

16.已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题：

(1)存在，使圆与圆相切；

(2)对任意,直线上都存在点,圆上都存在两点，使.则（）.

A.(1)(2)都为真命题B.(1)为真命题，(2)为假命题

C.(1)为假命题，(2)为真命题D.(1)(2)都为假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

在中,边上的高所在直线的方程分别为与,点的坐标为.

（1）求边的高所在直线的一般式方程;

（2）求边的中线所在直线的斜率.

18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

若圆过点，

（1）求圆的一般方程;

（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程。

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）。

（1）试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程；

（2）若在道路上位于点正东公里处有一仓库为常数，为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的环绕圆.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）记直线与椭圆的另一个交点为点,环绕圆的面积为,三角形的面积为,试判断,是否存在点,使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；

（3）若过原点可作环绕圆的两条切线，分别交椭圆于两点，直线的斜率存在，记为，求的取值范围.

21.（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

已知,若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数,记点的轨迹为曲线.

（1）若,求曲线的方程;

（2）若,试根据的不同取值,讨论曲线的形状;

（3）若,过点且不与轴垂直的直线与交于两点,若点关于轴的对称点为点,求证:直线恒过定点.

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一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-