圆锥曲线常考题型（解析版）-2025届高三数学一轮复习.docx

圆锥曲线常考题型

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圆锥曲线常考题型

圆锥曲线的定义：

阿氏圆

例1.已知，为平面内的两点，，是的中点，点在该平面内运动，且满足，则的最大值为．

【答案】

【解答】解：以所在的直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系．

，，设，点在该平面内运动，且满足，

可得，化简可得，

轨迹为以，为圆心，为半径的圆．的最大值：．

例2.已知，，，点在直线上，若恒成立，则的取值范围是．

【答案】，

【解答】解：设，由在上，得，即，

由得：，化为，

依题意，线段与圆至多有一个公共点，，

解得：，则的取值范围为，.

例3.已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值是．

【答案】

【解答】解：根据题意设，，对应的点在单位圆上，

，所以，

表示点到点和的距离之和，

过点和的直线为，原点到直线的距离为，所以与单位圆相交，所以的最小值为点和之间的距离，即．

巩固练习：

1.平面直角坐标系中，已知点，圆．若圆上存在点，使，则的取值范围是．

【答案】，

【解答】解：设点，，且，

，化简得，即，

点在以为圆心，2为半径的圆上．

点既在圆上又在圆上，即圆和圆有公共点．

因此．即，解得，

所求实数的取值范围是，．故答案为：，．

2.已知，是平面上两个定点，平面上的动点，满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．

【答案】

【解答】解：，以为轴，以的中垂线为轴建立平面坐标系，

设，，，则，，，；

．的轨迹是圆心为，，半径为的圆．

同理的轨迹也在这个圆上．所以．，即恒成立，设，则在，上单调递减，的最大值为（3）．．故答案为：．

隐含“圆”

例1.已知、是单位向量，．若向量满足，则的最大值是．

【答案】

【解答】解：、是单位向量，．若向量满足，

设，，，

则，，，

故向量的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，

的最大值为，故答案为：

例2.在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点的坐标为，则的取值范围为．

【答案】，

【解答】解：设，则有，，所以为的中点，，

过作，垂足为，因为，所以，，

，，

所以点的轨迹方程为：，所以，

所以的取值范围为：，，故答案为：，．

例3.已知，且满足，则的取值范围为．

【答案】

巩固练习：

1.已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为．

【答案】，

【解答】解：圆的圆心，半径为1，

圆心到的距离为2，圆上的点到点的距离的最大值为3，最小值为1，

再由，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有，

实数的取值范围是，．故答案为：，．

2.已知圆，圆，定点，动点，分别在圆和圆上，满足，则线段的取值范围是．

【答案】，

【解答】解：设，、，，则．

，，，．，，即，即，．设中点为，，则，，，

，即，

点，的轨迹是以，为圆心、半径等于的圆，的取值范围是，，故，故的范围为，，故答案为：，．

3．若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，已知点，则线段长度的最大值是．

【答案】

【解答】解：，，成等差数列，，即，可得方程

恒过，又点在动直线上的射影为，，

在以为直径的圆上，此圆的圆心坐标为，，即，半径

，又，，

则．故答案为：

利用定义求轨迹方程

例1．已知动点满足，则点的轨迹是

A．双曲线 B．抛物线 C．两条相交直线 D．椭圆

【答案】

【解答】解：令，则其几何意义为点到的距离，

令，其几何意义为点到直线的距离，

依题意二者相等，即点到点的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出的轨迹为

抛物线．故选：．

例2．已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为．

【答案】

【解答】解：由的垂直平分线交直线于点，得，圆的半径为2．

所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线．

所以由题意得，．所以，，．焦点在轴上，故所求

方程为．故答案为．

例3.已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与这两个

圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为．

【答案】

【解答】解：圆的圆心为，半径为5；而圆的圆心为，半径为1．设动圆与圆和都相外切，动圆半径为，则

，，可得，点在以、为左、右焦

点，的双曲线右支上且，可得双曲线方程为，

因此，动圆圆心的轨迹方程为：故答案为：

巩固练习：

1．如图，在正方体中，当动点在侧面内运动时，总有

，则动点在平面内的轨迹是

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

【答案】

【解答】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，，1，，，0，，，0，，1，，

，1，，，0，，，1，，

，，，

整理，得，，点的轨迹是双曲线的一部分．故选：．

2．已知两点、，设圆与轴交于、两点，且动点满足：以线段为直径的圆与圆相内切，如图所示，记动点的轨迹为，则轨迹的方程是．

【答案】

利用定义求值

例1．如图，把椭圆