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**Matrix-VectorMultiplication:
2-DPartitioningWhenusingfewerthann2processors,eachprocessownsanblockofthematrix.Thevectorisdistributedinportionsofelementsinthelastprocess-columnonly.Inthiscase,themessagesizesforthealignment,broadcast,andreductionareallThecomputationisaproductofansubmatrixwithavectoroflength.Matrix-VectorMultiplication:
2-DPartitioning当使用少于n2个处理器时，每个进程拥有一个 矩阵块。向量仅在最后一个进程列中 的元素的部分分布。在这种情况下， 对齐，广播和减少的消息大小都是计算是具有 长度向量的 子矩阵的乘积。Matrix-VectorMultiplication:
2-DPartitioningThefirstalignmentsteptakestimeThebroadcastandreductionstaketimeLocalmatrix-vectorproductstaketimeTotaltimeis
Example:CodeofMVSeeReference*OutlineMatrix-MatrixMultiplicationMatrix-MatrixMultiplicationMatrix-MatrixMultiplicationConsidertheproblemofmultiplyingtwonxndense,squarematricesAandBtoyieldtheproductmatrixC=AxB.TheserialcomplexityisO(n3).Ausefulconceptinthiscaseiscalledblockoperations.Inthisview,annxnmatrixAcanberegardedasaqxqarrayofblocksAi,j(0≤i,jq)suchthateachblockisan(n/q)x(n/q)submatrix.Inthisview,weperformq3matrixmultiplications,eachinvolving(n/q)x(n/q)matrices.Matrix-MatrixMultiplication考虑将两个n×n密集矩阵A和B相乘以产生乘积矩阵C=A×B的问题。串行复杂度为O（n3）。在这种情况下，一个有用的概念称为块操作。在该视图中，n×n矩阵A可以被认为是块Ai，j（0≤i，jq）的q×q阵列，使得每个块是（n/q）×（n/q）子矩阵。在这种观点中，我们执行q3矩阵乘法，每个涉及（n/q）x（n/q）个矩阵。Matrix-MatrixMultiplicationConsidertwonxnmatricesAandBpartitionedintopblocksAi,jandBi,j(0≤i,j)ofsizeeach.ProcessPi,jinitiallystoresAi,jandBi,jandcomputesblockCi,joftheresultmatrix.ComputingsubmatrixCi,jrequiresallsubmatricesAi,kandBk,jfor0≤k.All-to-allbroadcastblocksofAalongrowsandBalongcolumns.Performlocalsubmatrix
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