安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学.docx

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合肥一中高三上学期数学素质拓展4

命题、审题人：刘斌陈银科

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．设集合，集合，则（????）

A． B．

C． D．

2．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）

A． B．

C． D．

3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（）

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

4．已知直线与曲线切于点，则b的值为（????）

A．3 B． C．5 D．

5．下列叙述中正确的个数是：（????）

①若，，为平面向量，则；

②向量与垂直；

③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是

④.记，则向量在向量上的投影向量为

A．0 B．1 C．2 D．3

6．若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（????）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

8．定义域在R上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（????）.

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.

9．已知，则下列不等式一定成立的有（????）

A． B． C． D．

10．已知函数的部分图象如图所示，则（????）

??

A．

B．函数f(x)的图象关于对称

C．函数f(x)的图象关于对称

D．函数f(x)在上单调递增

11．已知实数，满足，则（???）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12．已知是三角形的内角，若，则．

13．已知函数在处有极小值，则实数．

14．圆与圆半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆上的动点，，则的最小值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知函数.

(1)求函数的最小值，及取最小值时的x的值；

(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.

16．在平面四边形中，.

(1)求的长；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

17．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，.

18．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.

(1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.

(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.

(3)求面积的最大值.

19．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.

(1)求曲线在处的切线斜率；

(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：

(3)（i）证明：当时，；

（ii）证明：.

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1．B

【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解.

【详解】因为，

所以，，

，

因为，所以，

故选：B

2．C

【详解】根据函数过排除A;

根据过排除B、D,

故选C．

3．C

【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项

【详解】由题意得，故

∴，△ABC是直角三角形

故选：C

4．A

【分析】因为是直线与曲线的交点,所以把代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.

【详解】把代入直线中,得到,

求导得：,所以,解得,

把及代入曲线方程得：,

则b的值为3.

故选：A.

【点睛】此题考查学