广东省中山市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次统测数学试卷.docx

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广东省中山市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次统测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，则的元素个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若实数，，满足，，，则（????）

A． B． C． D．

5．对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（????）

A． B． C． D．

6．已知定义域为的偶函数满足，当时，则（????）

A． B． C． D．

7．（????）

A． B． C． D．

8．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（????）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9．已知，则（????）

A． B．

C． D．

10．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（???）

A．和互为对立事件 B．事件和不互斥

C．事件和相互独立 D．事件和相互独立

11．已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（????）

A．若为等边三角形，则球的体积为

B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为

C．若，且，则

D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或

三、填空题

12．已知向量，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则．

13．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为．

14．已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是.

四、解答题

15．在中，内角的对边分别为，且，．

(1)求的值；

(2)若的面积为，求边上的高．

16．如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.

(1)求证：平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.

17．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示：

32

41

54

68

74

80

92

0.28

0.34

0.44

0.58

0.66

0.74

0.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，

(1)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；

(2)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．

参考公式与数据：

①．

②线性回归方程中，，．

③若随机变量，则，，．

18．已知函数．

(1)已知函数在点处的切线的倾斜角为，求的值．

(2)若函数为增函数，求的取值范围；

(3)已知．证明：；

19．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.

(1)当，时，写出所有满足的数对序列；

(2)当时，证明：；

(3)当为奇数时，记的最大值为，求.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

A

D

C

A

C

ACD

BC

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.

【详解】由题意得，，

故，即共有4个元素，

故选：C．

2．D

【分析】根据复数的乘方与除法运算，整理可得标准形式，结合复数的几何意义，可得答案.

【详解】由，得，所以，

所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．

故选：D．

3．A

【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.

【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，

如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，

所以“”是“”