湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年度高二上学期11月期中考试 数学（B）试卷【含解析】.docx

湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年度高二上学期11月期中考试数学（B）试卷【含解析】

姓名：___________班级：___________

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是()

A.与 B.与 C.与 D.

2．已知空间向量，，且，则()

A.10 B.6 C.4 D.

3．过下列两点,的直线的斜率为()

A.1 B.0 C.-1 D.不存在

4．圆的圆心到直线的距离为()

A.2 B. C.1 D.

5．平面内点P到,的距离之和是10,则动点P的轨迹方程是()

A. B. C. D.

6．已知直线l的方向向量是,平面的一个法向量是,则l与的位置关系是()

A. B.

C.l与相交但不垂直 D.或

7．已知圆：与圆：外切，则r的值为()

A．1 B．5 C．9 D．21

8．已知直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为()

A. B. C. D.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9．已知的三个顶点,,,则下列说法正确的是()

A.直线AC的斜率为

B.直线AB的倾斜角为锐角

C.BC边的中点坐标为

D.BC边上的中线所在的直线方程为

10．已知圆与直线,下列选项正确的是()

A.圆的圆心坐标为 B.直线过定点

C.直线与圆相交且所截最短弦长为 D.直线与圆可以相离

11．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则()

A.

B.平面

C.平面

D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为

三、填空题（每小题5分，共15分）

12．已知直线，直线．若，则实数a的值为______．

13．方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是__________.

14．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为______.

四、解答题（共77分）

15．（13分）求满足题意的直线方程:

（1）求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;

（2）求过点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程.

16．（15分）已知圆C上有两个点，，且AB为直径.

（1）求圆C的方程；

（2）已知，求过点P且与圆C相切的直线方程.

17．（15分）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．

(2)经过两点，．

18．（17分）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线，所成角的余弦值.

19．（17分）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F.

（1）求证：平面;

（2）求平面与平面的夹角的大小.

期中考试数学参考答案

1．答案：D

解析：因为，则四边形是平行四边形，结合题图，

，A错误；

，B错误；

与方向不相同，C错误；

，D正确.

故选：D.

2．答案：C

解析：因为，所以，即，，则.故选：C.

3．答案：A

解析：由斜率的坐标计算公式可知过两点，的直线的斜率为.

故选：A.

4．答案：D

解析：圆心为，点到直线的距离为.故选D.

5．答案：B

解析:由题意,

平面内点P到,的距离之和是10,

动点P的轨迹为椭圆,焦点在轴上,

,,解得:,

,

轨迹方程为:,

故选:B.

6．答案：D

解析：

7．答案：A

解析：因为圆与圆外切，

所以，解得.

故选：A

8．答案：D

解析：依题意，得圆心，半径，直线恒过定点.，点D在圆C内部，的值最小时，直线AB与CD垂直.又，.故选D.

9．答案：CD

解析：对于A,直线AC的斜率为,故A错误;

对于B,直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;

对于C,设BC边的中点为,则,即点,故C正确;

对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为,整理得,故D正确.

故选:CD.

10．答案：AC

解析：对于A中,由圆,

可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确;

对于B中,由直线,可化为,

令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确;

对于C中,由圆心坐标为和定点,可得,

根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短,

则最短弦长为,所以C正确;

对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确.

故选：AC.

11．答案：AD

解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,

则,,,,,.

,,,.

A选项,因为,所以,A正确.

B选项,设平面的法向量为,

则,

令得,,,故,

因为,

所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误.

C选项,若平面,则.

因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误.

D选