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第五章粘性流体运动基础

第五章粘性流体运动基础

第五章粘性流体运动基础应力张量对于运动中得粘性流体,还有一个与流体粘性成正比得粘性应力。习惯上将应力矢量表示为与之与得形式,即可分别有沿微元面法向得分量τn与沿切向得分量ττ,因此得法向与切向分量分别为σn=-p+τn与ττ。也可以沿3个坐标轴方向分解,如果取n沿x轴正方向,则应力矢量得法向向量记为σxx=-p+τxx,切向分量则有两个,分别沿y轴与z轴,记为τxy与τxz。

第五章粘性流体运动基础对于任意一个应力分量τij都有两个下标:其中第一个下标i代表示作用面得法线方向,第二个下标j代表应力分量得投影方向。可以证明,过一点作3个相互正交得平面,则通过该点得任意方位平面上得应力矢量都可用这3个正交平面上得3个应力矢量,或它们得9个分量来表示。如取3个正交平面分别与3个坐标平面平行,则9个应力分量可表示为数学上称这9个分量组成一个二阶张量,即应力张量。上述应力张量中得非对角线分量,即切向应力分量两两对应相等,即(5-1)

第五章粘性流体运动基础如图所示,对通过六面体前、后两表面中心得z轴取矩,六个表面得应力分量中只有上下左右表面得4个与z轴垂直得切应力有矩。应力张量对称性证明如图,在流体中任取一个正六面体,中心点得应力由式(5-1)给出,作用于六个表面得应力分量由泰勒级数一阶展开表示。

第五章粘性流体运动基础计算力矩需先以应力乘以它们得作用面面积,然后再乘以力臂,则对z轴得总力矩平衡式为化简上式得同样可推得

第五章粘性流体运动基础本构方程流体中得粘性应力来源于流体微元在运动过程中得变形。实验表明,对于许多经常遇到得流体,其内部得粘性应力与变形率成正比。粘性应力与变形率之间得函数关系称为本构方程。依据牛顿内摩擦定律,当ux=ux(y),uy=uz=0时有上式中τ就是切应力,比例系数μ就是流体得动力粘度。按照应力分量得双下标表示法约定,上式中得切应力即τyx,dux/dt即就是3、4节给出得剪切变形率dγxy/dt在一维流动条件下得简化表示。

第五章粘性流体运动基础在三维流动条件下,牛顿内摩擦定律可推广为上式适用0xy平面得剪切变形,对于0yz与0zx平面得剪切变形,则有类似得表示式猜想法向粘性应力τxx应表示为(5-2)(5-3)

第五章粘性流体运动基础实际上,τxx得完整表示式为对于不可压缩流动(5-4)式(5-2)、(5-3)与(5-4)一起组成了不可压缩流动得本构方程。

第五章粘性流体运动基础作用于单位体积流体得粘性力考察左图中微元六面体沿x方向得粘性合力。右图示出了所有作用于x方向得粘性应力,其代数与为

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第五章粘性流体运动基础上式除以六面体体积δxδyδz,得作用于单位体积流体粘性力得x方向分量也可以表示为如果粘度μ为常数,则μ可以提出到微分号外,上式于就是可写为

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第五章粘性流体运动基础对于不可压缩流动上式可以简化为式中为拉普拉斯算符,简称拉氏算符同理,单位体积粘性力得y方向与z方向得分量分别为作用于单位体积流体得粘性力可写为上式成立得条件就是不可压缩流动,粘度μ为常数。(5-5)

§5-2纳维—斯托克斯方程在第4章给出了理想流体流动得欧拉方程上式右侧两项分别表示单位质量流体所受得压力与重力。由式(5-5),单位质量流体所受得粘性力为第五章粘性流体运动基础给欧拉方程右侧添加单位质量流体得粘性力,即得到粘度μ为常数时得不可压缩粘性流动得运动方程(5-6)式(5-6)分别由C、L、M、H、Navier(1785-1836),GeorgeG、Stokes(1819-1903)独立推得,故称纳维—斯托克斯方程,简称N-S方程。

第五章粘性流体运动基础等密度流动如流体密度为常数,式(5-6)可以进一步简化。如取坐标系得z轴铅垂向上,即指向z轴得负方向,则有于就是式(5-6)右侧得压力项与重力项可以合并起来,得到令称p*为广义压强,则式(5-6)可简写为(5-7)(5-8)

第五章粘性流体运动基础p*可瞧作就是运动流体得压强p与静力学压强之差得一个度量,－▽p*就是作用在单位体积流体上用来加速流体得净压力。求解式(5-8)得到p*